Frage von Fedovic, 80

Logarithmen in Potenzen umschreiben?

Die Frage oben trifft es nicht ganz, aber ich habe eine Übung zu dem Logarithmus bekommen, die ich nicht ganz verstehe. Ich habe eine Gleichung mit Logarithmus gegeben und muss sie lösen. Ein Beispiel wäre: x = log 27/8 (2/3)

(Die 27/8 stehen als Index hinter dem Logarithmus)

Ich habe absolut keinen Schimmer, wie ich hier vorgehen muss, ich weiß nur, dass (27/8)^x=2/3 sind.

Danke im voraus

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 31

http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm

Der Umbau von Log in Pot ist auch eine Mitternachtsformel. Die muss man herbeten können, egal wann man geweckt wird.

Merker: wenn auf einer Seite log steht, steht auf der anderen Seite die Hochzahl.

log a (b) = x        <===>    a^x = b

Dein Beispiel:

x              = log 27/8 (2/3)    | Umbau in Potenz
(27/8)^x   = 2/3                    | Umrechnen in Klammer, Potenzen von 3
(3³/2³)^x  = 2/3                     | 2. und 5. Potenzgesetz
(3/2)^3x    = 2/3                   | 2/3 stürzen
(3/2)^3x    = (3/2)^(-1)         | gleiche Basen
         3x     = -1                    | /3
           x     = - 1/3

Damit hast du das Ergebnis des Logarithmus.

Dieser Exponent steht für    1/³√

Kommentar von Volens ,

Das ist ein beschwerlicher Weg.
Dafür wurde nur mit dem Logarithmus und seinen Gesetzen umgeformt.

Kommentar von Fedovic ,

Danke, so einen ähnlichen Weg habe ich gesucht, denn wir dürfen in der Klausur am Ende eventuell keinen Taschenrechner benutzen, steht noch nicht fest :).

Antwort
von BaamxYuri, 50

Erstmal musst du die Formel zum umschreiben in einen Logarithmus den der Taschenrchner beherrscht anwenden. Der kann nur den dekadischen Log., den natürlichen und den Log. Dualis. Aber hier hast du ja den zur Basis 27/8.

Kommentar von BaamxYuri ,

Der Logarithmus zur beliebigen Basis: 

Log von x zur Basis b = Zehner Log von x DURCH Zehner Log von b

Und dann einfach den Wert mit dem Taschenrechner berechnen.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 37

Ganz einfach:

log_27/8 (2/3) = ln(2/3)/ln(27/8) = (ln(2) - ln(3))/(ln(27) - ln(8))

Also lautet die Lösung:

 ln(2) - ln(3)
----------------
ln(27( - ln(8)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Fedovic ,

Danke! Gibt es ein allgemeines Gesetz zu dieser Rechnung?

Kommentar von Willibergi ,

Ja natürlich - wir befinden uns doch in der Mathematik, der Sprache der Regeln. ^^

Allgemein:

logₐ(b) = logₓ(b)/logₓ(a)

Die Basis x ist hierbei eine komplett beliebige, reelle Zahl.

Da x hierbei auch gleich e sein kann, ist dieses Verfahren auch mit dem ln möglich (ln(x) = logₑ(x)).

Und:

logₓ(a/b) = logₓ(a) - logₓ(b)

LG Willibergi

Kommentar von Volens ,

Stimmt. Ist nämlich - 0.333333333333333

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

x = - 1/3

weil 3.wurzel aus 8 = 2

und 3.wurzel aus 27 = 3

Kommentar von Fedovic ,

Danke! Der Weg an sich schaut ja ganz einfach aus, aber wie komme ich darauf, dass ich in diesem Fall jeweils die dritte Wurzel ziehen muss?

Kommentar von Ellejolka ,

wenn du das nicht siehst, dann

mit Taschenrechner

log(2/3) : log(27/8) = ...........

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