Lagebeziehung Gerade-Ebene untersuchen?

Wenn ich die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E untersuchen muss,

g: x= (-1/0/0) + r mal (2/6/2)

E: 2x + y +z =4

Gegeben habe, muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?

Und wie rechne ich dann weiter? Muss ich g und E dann gleichsetzen und später in ein Gleichungssystem bringen bis ich für jede variable eine Zahl rausbekomme?

(und wie forme ich am besten von der koordinatengleichung zur parametergleichung um?)

Danke

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

TechnikSpezi

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule, Mathematik

25.04.2018, 20:16

muss ich die Ebene zuerst in die Parametergleichung umformen?

Nein, genau im Gegenteil. Du hast die Ebene in der Koordinatenform gegeben, was perfekt ist. Nun kannst du die Gerade einfach in die Koordinatenform einsetzten.

Für x setzt du die oberste, für y die mittlere und für z die unterste Zeile aus der Geradengleichung ein.

Sprich:

x = -1 + 2r

y = 6r

z = 2r

Jetzt setzt du einfach ein:

2x + y +z =4

2*(-1+2r) + 6r + 2r = 4

-2 + 4r + 8r = 4

-2 + 12r = 4 |+2

12r = 6 |:12

r = 0,5

Da wir tatsächlich einen exakten Wert für r erhalten, hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der Ebene. Den kannst du nun ausrechnen, indem du den Wert für r wieder in die Geradengleichung einsetzt. Die oberste Zeile ist dann wie vorher die y-Koordinate usw. Damit bekommst du den Schnittpunkt schnell raus.

Falls du etwas noch nicht verstanden hast, hier das passende Video von Daniel Jung dazu:

https://www.youtube.com/watch?v=fHKLVi117SQ

Liebe Grüße

TechnikSpezi