Frage von EtBap, 62

Kann mir jemand anschaulich erklären, was der Unterschied zuischen dem Erwartungsnutzen, dem Nutzen der erwarteten Auszahlung und dem erwartungswert ist. Ich..?

kann ja mal anfangen. Der Erwartungswert sind die möglichen Auszahlungen multipliziert mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Der Nutzen der erwarteten Auszahlung ist der Erwartungswert in die Nutzenfunktion eingesetzt. Und der Erwartungsnutzen sind die Nutzen der Auszahlungen multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Nur wie stell ich mir den Unterschied zwischen Erwartunngsnutzen und Nutzen der erwarteten Auszahlung vor?

Antwort
von kreisfoermig, 35

Nutzen ist eine Funktion von Auszahlung: G(X), wobei x=Auszahlung. Wenn Auszahlung selber eine Zufallsvariable ist, so gilt:

  • 𝔼[G(X)] = erwarteter Nutzen

Berechnung: ∑ p(x)G(x).

  • G(𝔼[X]) = Nutzen der erwarteten Auszahlung.

Berechnung: G(∑p(x)·x).

Erkennst du den Unterschied?

Kommentar von EtBap ,

Jein.

Ersteres ist halt die Summe der gewichteten Nutzen. Letzteres der Nutzen der Summe der gewichteten Auszahlungen.

Kann mir jedoch irgendwie kein reales Äquivalent darunter vorstellen.

Kommentar von kreisfoermig ,

und zwischen 𝔼[G(X)] und G(𝔼[X]) erkennst du keinen (Bedeutungs)unterschied?

Kommentar von EtBap ,

Ersteres ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich einen bestimmten Nutzen haben werde.

Letzteres der Nutzen aus einer bestimmten Wahrscheinichkeit?

Kommentar von kreisfoermig ,

Na ja, nicht ganz eine Wahrscheinlichkeit, sondern eigentlich die/der Erwartung(swert). Aber die Richtung deiner Gedanken/Vorstellungen ist korrekt.

Kommentar von kreisfoermig ,

Der Nutzen der erwarteten Auszahlung ist der Erwartungswert in die Nutzenfunktion eingesetzt.

Und der Erwartungsnutzen sind die Nutzen der Auszahlungen multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Du hast es richtig erkannt. Das zweite ist eigentlich das, was man gebrauchen kann. Der Nutzen des Erwartungswertes … ist quasi beobachtungslos und deshalb nicht vorstellbar. Hingegen beobachtet man (im Schnitt) den Erwartungswert des Nutzens.

Kommentar von EtBap ,

In der Spieltheorie gilt ja bspw., dass falls der Nutzen des Erwartungswertes größer als der erwartete Nutzen ist, die Person risikoavers ist. Wie soll man sich denn hierbei den Unterschied vorstellen?

Ich bekomm mit ner Wahrscheinlichkeit von 50% 10€. Meine Nutzenfkt ist U(x)=x^0,5.

Dann ist mein Erwartungswert: 5; Nutzen der erwarteten Auszahlung 2,236; Erwartungsnutzen 1,581.

Keine Ahnung wieso ich nun risikoavers bin.

Kommentar von EtBap ,

Womöglich liegt der Fehler dabei es sich real vorstellen zu wollen

Kommentar von kreisfoermig ,

Ach so. Kannst du mir das Spiel beschreiben? 2 Spieler oder 1? Wie beziehen sich der Nutzen und die Auszahlung auf den / die Spieler?

Kommentar von EtBap ,

Ne, das hab ich mir einfach gerade augedacht

Kommentar von kreisfoermig ,

nee, nicht mit den Zahlen, sondern die Struktur des Spiels. Ich glaube, ich verstehe das Spiel:

Der Spieler zahlt einen fixierten Preis p := 𝔼[X] ein. Der Spieler hat dann zwei Optionen:

  1. er spielt nicht und behält dann Auszahlung 𝔼[X]. Mit dem Geld hat er somit den Nutzen G(𝔼[X]); oder
  2. er spielt und erhält X. Der Nutzen, den er daraus zieht ist G(X).

Der Unterschied (2)–(1) im Nutzen ist also G(X) – G(𝔼[X]). Der erwartete Wert dieser Differenz ist also d = 𝔼(G(X)) – G(𝔼[X]).

Darum „soll“ er, um im Schnitt einen positiven Gewinn im Nutzen zu erzielen, folgendermaßen sich entscheiden: G(𝔼[X])

  • falls 𝔼(G(X))>G(𝔼[X]), so gilt d>0,also wähle stets (2).
  • falls 𝔼(G(X))<G(𝔼[X]), so gilt d<0, also wähle stets (1).
  • falls 𝔼(G(X))=G(𝔼[X]), so gilt d=0. Man kann so oder so ohne Unterschied handeln.

Die Wahl von stets-(1) bedeutet man spielt niemals mit, das heißt, man ist risikoavers. Das o. s. zeigt, dies passiert gdw. 𝔼(G(X)) < G(𝔼[X]), d. h., genau dann wenn 

der Nutzen des Erwartungswertes größer als der erwartete Nutzen ist.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten