Kann mir bitte jemand die Umordnung von Reihen erklären?

Hallo,

ich verstehe einfach nicht, was genau mit einer gegebenen Reihe passiert, wenn sie umgeordnet wird.

Beispiel:

Die gegebene Reihe ist halt irgendeine Reihe einer Folge. (Summenzeichen, unten n=0, oben unendlich von xn)

Dann hat man noch die Folge der nichtnegativen ganzen Zahlen, also (nk) mit n Element N0 mit den Folgengliedern von 0 bis unendlich mit ganzen Zahlen.

Nun wird die Umordnung der Reihe bezeichnet mit Summenzeichen, unten k=0, oben unendlich von xnk.

Was genau passiert jetzt mit der Reihe?

Wird jedes Folgenglied der Folge jetzt jeweils zu den Partialsummen dazu addiert oder bildet man die Reihe der Folge selbst, was genau geschieht?

Ein Beispiel wäre sehr schön, ich kann es mir selbst leider nicht erklären.

Danke im voraus, ich hoffe auf Hilfe!

Answer 1

[MagicalGrill]

Du hast ne Reihe, sagen wir

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

Nun hast du ne Permutation n der natürlichen Zahlen, sagen wir:

$n_1\ =\ 2,\ n_{2\ }=\ 1,\ n_k\ =\ k\ sonst$

Vergleichen wir nun unsere ursprüngliche Reihe mit:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_k^2}$

Die ursprüngliche Reihe lautet: 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...

Die neue Reihe lautet: 1/2² + 1/1² + 1/3² + 1/4² + ...

Hier wurden also die ersten beiden Summanden vertauscht.

Intuitiv verändern wir mit (n_k) einfach die Reihenfolge der Summanden: Statt mit dem ersten zu starten, starten wir wir mit dem (n_1)-ten, machen weiter mit dem (n_2)-ten etc.

Comments

[Skrryx]

Danke, aber wie wäre es denn, wenn n_k wirklich die Folge aller nichtnegativen Zahlen ist?

[MagicalGrill]

@Skrryx

Dann wär es eben eine Folge, in der noch die 0 auftaucht. Das ändert am Prinzip nichts: In der neuen Reihe würde man dann halt bei (n_0) starten, mit (n_1) weitermachen etc.

Ich hab die 0 im Beispiel ausgeschlossen, weil man dadurch so schlecht teilen kann.