[Mathe] Kann man den Graphen für eine Reihe zeichnen?
Soweit ich weiß ist eine Folge eine spezielle Funktion mit der Definitionsmenge der natürlichen Zahlen, der Graph besteht also aus Punkten.
Soweit ich dass jetzt verstanden habe werden bei einer Reihe alle Folgenglieder aufaddiert * , also wäre eine Reihe ja letztlich nur eine einzige Zahl.
also: Glied 1 einer Folge + (Glied1+Glied2) + (Glied1+Glied2+Glied3)...
Stimmt das?
6 Antworten
§1: zeichnen kann man alles mögliche
§2: da es sich hier um 3 Variablen {x,k,n} mit unterschiedlichen Aufgaben handelt, muss man zunächst sauber schreiben:
a) Partialsumme:
f(x,n) = {Sum f(x,k), k=0...n } = f(x,0) + ... + f(x,n)
b) unendliche Reihe:
f(x,∞) =f(x)= {Sum f(x,k), k=0...∞ } = f(x,0) + f(x,1)+ ... + Genauigkeitsgrenze
Beispiel: f(x)=sin(x)=x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + ... für |x| < 1
= sum (-1)^k x^(1 + 2 k)/(1 + 2 k)! ,k=0... ∞
Zeichnen kann man:
- f(x) {häufig} oder
- f(x,k) {innere Funktion seltener}
- oder einzelne Glieder bei konst. x wie f(1,k) {interessiert sich kaum jemand für einzelne Glieder}
-> das hängt aber von der Aufgabenstellung ab (leider nicht immer eindeutig)!
Dann kann es auch sein, dass x nicht variabel, sondern eine Konstante ist.
Beispiel x=1 -> damit f(x,k)=1 -> keine innere Funktion mehr, sondern einzelne Glieder f[0]=f[1]=f[2]... =1
-> sum (-1)^k/(1 + 2 k)! , k=0...∞
=1 - 1/6 + 1/120 - 1/5040 +...
= sin(1) = 0.84147098480789650665250232163...
Konvergenz: unendliche Reihen machen nur dann Sinn, wenn sie konvergieren, da sonst als Ergebnis f(x) = ∞ herauskommt {den Punkt kann man nicht zeichnen}.
Die Randbedingung, für welche x die Reihe konvergiert, ist also sehr wichtig.
Selbst wenn x wieder eine Konstante sein sollte, kann so eine Reihe divergieren:
Beispiel: f(x,n)=sum 1/k , k=1...n {da unabh. von x, kann man x auch weglassen}
Fall a Partialsumme) sum 1/k , k=1...n
f(n) = 1/1+1/2+...1/n = HarmonicNumber(n)=Digamma(n)+ EulerGamma
{bekannte Funktionen siehe WolframAlpha oder
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php }
Fall b unendliche Summe): sum 1/k , k=1...∞
ergibt ∞, da diese Reihe nicht konvergiert, sondern divergiert.
Eine Reihe muss nicht unbedingt über alle Folgenglieder summiert werden, man kann bei irgendeinem Glied (sagen wir, dem n-ten Glied) mit der Summation aufhören und bekommt so die n-te Partialsumme. Die Folge der Partialsummen kann man dann als Graph darstellen, wie jede andere Folge.
du kannst die folgenglieder selbst als graph aufzeichnen.
also sowas wie
(n, a(n))
wie a(n) eben das n-te folgenglied ist.
du kannst auch die Partialsummen betrachten:
S(1)=a(1)
S(2)=a(2)+a(1)
usw
und dir da eben
(n,S(n)) aufzeichnen.
möglich wäre auch
(a(n),S(n))
also der "x-wert" ist das folgenglied und dr "y-wert" die n-te partialsumme.
kannst ja alle zahlen von 1 bis n durchgehen, folgenglied und partialsumme berehcnen, dann kriegst du auch n wertepaare.
Also gehen tut viel! :-D
Aber macht es Sinn?
Fraglich.
Übrigens kannst du auch sowas wie du partialsummen der partialsummen oder sowas erfinden:
T(1)=S(1)
T(2)=S(2)+S(1)
usw.
Nichts ist unmöglih, wie schon Toyota in seinem Werbespruch sagte! :-D
Was auch noch sehr lustig zu machen wäre:
dir mal die punkte
(a(n-1),a(n)) aufzuzeichnen.
also bei der folge 1,2,3,4,5,...
dir die wertepaare (1,2),(2,3),etc.in einen graphen einzuzeichnen.
bringts dir was?
Ausser hübshcen Bildern wahrscheinlich wenig.
aber wer weiss, vielleicht findest du da rein zufällig einen zusammenhang, der dir eine explizite formel für die n-te primzahl liefert?
irgendwer würde dir bestimmt eine million für diese erkenntnis bezahlen! :-)
Phu schon ne Weile her aber ne Folge muss nicht zwingend so sein oder?
Normalerweise sind Folgen doch etwa so aufgebaut, dass einfach immer zum vorherigen Wert etwas dazugerechnet wird.
Wert1, Wert1+x , Wert2+x (oder Wert1+x+x), ...
Eine (unendliche) Reihe ist mathematisch präziser auch eine Folge, nämlich die sogenannte Partialsummefolge. Das heißt die Folge, deren n-tes Folgenglied die (endliche) Summe bis n ist. Konvergiert diese Folge so ordnet man der (unendlichen) Reihe den Grenzwert als „Wert der Reihe“ zu.