Frage von gumpo03, 57

lim(1/nullfolge) = unendlich?

Hi, Wie kann ich beweisen, dass wenn Xn eine Nullfolge mit n element der Natürlichen Zahlen und n >= 0 ist, 1/X(n) gegen unendlich divergiert?

Ich dachte über einen Indirekten Beweis komme ich am besten zum Ergebniss, nur muss ich wirklich sagen dass ich nicht die hellste Leuchte in Mathe bin, gerade was Beweise angeht. Folgendes habe ich:

Sei 1/Xn Beschränkt, dann ist |1/Xn|<=M mit M element R
1<=M*Xn; Xn ist eine Nullfolge, somit gilt |Xn|<a wenn a>0

Ich bin mir aber gerade nicht sicher ob ich so zu einem Sinnvollen Ergebnis gelange.. Könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich vorgehen sollte?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ffrancky, 36

Jede unbeschränkte Folge ist divergent - vielleicht hilft dir das weiter

Kommentar von gumpo03 ,

Das war mir auch klar xD. Aber trotzdem Danke!

Kommentar von ffrancky ,

Na dann musst du nur noch nachweisen, dass die Folge nach oben nicht beschränkt ist - und fertig ist das Beispiel

Kommentar von ffrancky ,

Hast du eine bestimmte Nullfolge oder möchtest du es für alle Nullfolgen lösen? Ich glaube ich habe eine Lösung für letzteres gefunden

Kommentar von gumpo03 ,

Du kannst dir ja mal meinen Lösungsansatz im Komentarberteich unter PWolff ansehen und mir sagen ob man das so machen kann ;)

Kommentar von ffrancky ,

Den Ansatz habe ich nicht 100% nachvollziehen können, aber ich habe mal einen Anstoß in eine andere Richtung. 

Für Beschränktheit nach oben muss ja a(n+1) <= a(n)

wenn du jetzt für a(n) = 1/X(n) und für a(n+1) = 1/X(n+1) einsetzt erhälst du: X(n+1) < X(n). 

Wir wissen dass X(n) eine Nullfolge ist, und X(n+1) nie kleiner als X(n) sein kann.....Ergo: Es existiert keine Schranke nach oben hin

Kommentar von gumpo03 ,

Aber bei einer Nullfolge ist X(n+1) kleiner als X(n), da X(n) immer weiter an die 0 heranrückt.

Kommentar von ffrancky ,

Ach, Mist. Ich habe mich vertippt - bin auch nicht mehr der munterste....es muss heißen: ....eingesetzt erhälst du: X(n) < X(n+1).

Wir wissen, dass .... und X(n) nie kleiner als X(n+1) sein kann. Ergo: Es existiert keine obere Schranke.

Tut mir leid. Wenn du es ausrechnest, siehst du es schön

Kommentar von gumpo03 ,

Ok nurnoch ganz kurz, weil das wusste ich noch nicht:

Wenn ich 1/x <= 1/y ausrechne ist es das gleiche wie x>y?

Kommentar von ffrancky ,

Ja, einfach beide Seiten mit x*y mutliplizieren --> x*y/x <= x*y/y 

kürzen -->   y <= x   oder eben     x =>y 

Kommentar von PWolff ,

[0,1,0,1,...] ist auch beschränkt, aber nicht monoton.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 36

Divergenz einer Folge gegen unendlich bedeutet, dass die Beträge der Folgeglieder über alle Grenzen wachsen.

Genauer:

Zu jedem M ∈ ℝ gibt es ein n₀ ∈ ℕ, sodass für alle n ∈ ℕ, n >= n₀ gilt: |a_n| >= M

Vergleiche diese Definition mit der Definition einer Nullfolge.

Kommentar von PWolff ,

Es kann auch sein, dass euer Lehrer einen schwächeren Divergenzbegriff verwendet, bei dem nur unendlich viele Folgeglieder betragsmäßig größer als eine vorgegebene Grenze sein müssen, aber nicht alle.

Diese Art von Divergenz folgt aber aus der, die ich hier verwende.

Kommentar von gumpo03 ,

Ok, ich weiß schon was Divergenz bedeutet. Ich weiß nur nicht wie ich sie beweisen kann.

Wenn ich zb. folgendes mache:

Sei 1/Xn Beschränkt, dann ist |1/Xn|<=M mit M element R
1<=M*Xn; Xn ist eine Nullfolge, somit gilt |Xn|<a wenn a>0
Ich wähle für a=1/(2M) Somit gilt Xn<1/(2M)
1 <= Xn < 1/2M woraus folgt 1/M<1/(2M) oder 1<1/2

Da das nicht geht, ist die ursprüngliche behauptung bewiesen. Richtig?

PS: Dozent, nicht Lehrer. Ich studiere :)

Kommentar von PWolff ,

Fast richtig.

Aber bei der Nullfolgen-Eigenschaft fehlt noch eine entscheidende Bemerkung:

X_n ist eine Nullfolge, also gilt für alle a ∈ ℝ, a > 0:  Es gibt ein n_0 ∈ ℕ: für alle n > n0: |X_n| < a

Und eine nicht so wichtige Bemerkung: Daraus folgt, dass es für beliebig großes M ∈ ℝ mindestens ein n ∈ ℕ gibt, sodass |1/X_n| > M ist

Der Rest stimmt.

Je nach Lehrstuhl kann so eine vergessene entscheidende Bemerkung 1/2 bis 2 Punkte kosten.

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