Häufungspunkte von (nx-floor(nx))?

Hallo,

es sei x ein Element von den rationalen Zahlen derat, dass x>0. Zeigen Sie, dass die Folge

nur endlich viele Häufungspunkte besitzt.

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank im voraus.

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, Analysis

01.06.2019, 17:48

Sei b eine natürliche Zahl und a eine ganze Zahl mit x = a/b.

Zeige dass alle Folgenglieder sich dann als m/b mit einer ganzen Zahl m mit 0 ≤ m < b schreiben lassen.

Fachkabinett

Fragesteller

01.06.2019, 17:50

Das habe ich mir auch schon überlegt. Wenn x=p/q, dann gibt es ja nur 0,1/q, 2/q, ..., (q-1)/q. Aber irgendwas hält mich auf, das zu zeigen.

mihisu

01.06.2019, 18:29

@Fachkabinett

Dass die Folge nur Werte aus der Menge {0, 1/q, 2/q, ..., (q-1)/q} annehmen kann, kann man beispielsweise so zeigen: https://i.imgur.com/bmStuCS.png

Fachkabinett

Fragesteller

01.06.2019, 18:48

@mihisu

Wow, vielen Dank. Ich habe es durch Dich verstanden!

Fachkabinett

Fragesteller

01.06.2019, 20:27

@mihisu

Und weil so nur die Werte aus dieser Menge annehmen, kann es nicht unendlich viele Häufungspunkt egeben.

berndao2

01.06.2019, 18:02

naja, die floorfunktion gibt dir ja die nächstkleinere ganze zahl an.

also bspw.
6,234-floor(6,234)
=6,234-6
=0,234

ergo kriegst du da den tail hinter dem komma raus, d.h. das ergebnis liegt immer zwischen 0 und 1.

warum nun aber nur endlich viele verschiedene sachen vorkommen sollen, ist mir unklar.

meiner meinung nach müsste jede zahl 0<=z<1 ein häufungspunkt weil es eben unbegrenzt viele zahlen gibt (namentlich genau so viele wie es natürliche zahlen gibt)
die den gleichen teil hinter dem komma haben.

bspw. ergibt es für 1,12 2,12 3,12 usw das gleiche ergebnis, nämlich 0,12.
einzige was ich gerade nicht erkennen kann ist, warum es nur endlich viele häufungspunkte geben soll.

obwohl:

sagen wir mal x hätte k nachkommastellen.

dann kommen, sobald n>10^k, nur noch zahlen vor, die schon vorhandene ergebnisse liefern.

beispiel:
x=1,23

dann ergeben sich für n kleiner 10^2=100, alle möglcihen nahckommastellen.

kommst du aber auf n werte größer 100, dann gilt bspw. für
n=102:

n*x=102*1,23
=100*1,23+2*1,23

100*1,23 hat nachkommastelle 0, da eben gar keine nachkommastelle mehr.
ändert also nichts.
d.h. die nachkommastelle von 102*x ist dieselbe wie 2*x.

ähnliches gilt für andere n werte >100.

d.h. sei länge(x) die anzahl an nachkommastellen von x.

dann findest du max. 10^länge(x) einzigartige ergebnisse.
für noch größere n wiederholt es sich dann.

insofern gibt es tatsächlich nur enlich viele häufungspunkte, deren anzahl hängt von der anzahl an nachkommastellen von x ab.

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    quicksort(elements, 0, elements.length - 1);
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    // End of recursion reached?
    if (left >= right) return;

    int pivotPos = partition(elements, left, right);
    quicksort(elements, left, pivotPos - 1);
    quicksort(elements, pivotPos + 1, right);
  }

  public int partition(int[] elements, int left, int right) {
    int pivot = elements[right];

    int i = left;
    int j = right - 1;
    while (i < j) {
      // Find the first element >= pivot
      while (elements[i] < pivot) {
        i++;
      }

      // Find the last element < pivot
      while (j > left && elements[j] >= pivot) {
        j--;
      }

      // If the greater element is left of the lesser element, switch them
      if (i < j) {
        ArrayUtils.swap(elements, i, j);
        i++;
        j--;
      }
    }

    // i == j means we haven't checked this index yet.
    // Move i right if necessary so that i marks the start of the right array.
    if (i == j && elements[i] < pivot) {
      i++;
    }

    // Move pivot element to its final position
    if (elements[i] != pivot) {
      ArrayUtils.swap(elements, i, right);
    }
    return i;
  }

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