Beweisen Sie, dass es eine Zahl x0 ist element von [0,1] gibt, für die f(x0)=x0 gilt?
Ein Fixpunktsatz
Es sei f: [0,1]-->R eine stetige Funktion, so dass für alle x ist element von [0,1]: 0 ist kleiner-gleich f(x) ist kleiner-gleich 1.
Beweisen Sie, dass es eine Zahl x0 ist element von [0,1] gibt, für die f(x0)=x0 gilt
3 Antworten
Kennst du den Zwischenwertsatz? Dieser Fixpunktsatz ist eine direkte Konsequenz davon. Der Zwischenwertsatz sagt aus: sind a < b, sodass f(a) >=0, f(b) <=0, dann existiert ein x in [a,b] sodass f(x) = 0, wörtlich: hast du einen Vorzeichenwechsel, dann hast du auch eine Nullstelle.
Du hast also eine Funktion f: [0,1] -> [0,1] und definieren g(x) := f(x) - x.
Wenn du dir jetzt die Endpunkte anschaust, hast du f(0) >= 0, also g(0) >=0. Außerdem hast du f(1) <= 1, also g(1) <= 0. Der Zwischenwertsatz garantiert dir eine Nullstelle von g, du hast also ein x, sodass g(x) = 0 = f(x) - x, daraus folgt f(x) = x.
LG
Das ist eine Anwendung des Zwischenwertsatzes.
Angenommen f(0) > 0 und f(1) < 1, sonst wären wir schon fertig,
Der Graph von f muss dann durch die Winkelhalbierende gehen:
g(x) := f(x) - x
Es ist g(0) > 0 und g(1) < 0
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x0 mit g(x0) = 0
Dann ist f(x0) = x0
Ich würde über den Zwischenwertsatz gehen:
Wirklich sehr schoen ausformuliert und gut erklaert :)
Eigentlich fast zu schoen fuer eine "Frage", die nur aus einer Aufgabenstellung ohne wirklich eigenstaendige Frage besteht...
