Frage von linksoben, 65

Mathematik: Folge konvergent, beschränkt, monoton?

Hallo, ich muss zeigen dass die folge gegen etwas konvergent ist, wie auf dem bild unten dargestellt.
Das mach ich ja indem ich lim n--> "unendlich" gehen lasse, aber wie mach ich das mit dem term (-1)^n ?

Weil ist n gerade ist es positiv, ist n ungerade ist es negativ.

Wie kann ich (-1)^n umformen sodass ich n--> "undendlich" einsetzen kann?

Antwort
von PeterKremsner, 48

Gar nicht denn für diese Folge existiert kein Grenzwert.

Der Grenzwert existiert nur für Folgen welche auf einen bestimmten Wert zugehen.

Folgen konvergieren immer gegen ihren Grenzwert, wenn also eine Folge nicht konvergiert (in dem Sinne ist das Streben gegen unendlich oder -unendlich auch die Konvergenz gegen unendlich oder -unendlich) hat sie auch keinen Grenzwert.

Kurz gesagt die Folge (-1)^n ist nicht konvergent, weil sie gegen keinen bestimmten Wert strebt, genau so wenig wie die Folge: (-n)^n oder ähnliches.

Wichtig ist in diesem Falle noch das Leibnitzkriterium welches besagt, dass jede monotone Nullfolge  mit Alternierenden Vorzeichen konvergent ist, (-1/n)^n ist also konvergent.

Kommentar von PeterKremsner ,

Okay ich hab mich vertan, ich dacht du meinst generell die Reihe (-1)^n.

Für die Reihen in deiner Angabe kannst du das Leibnitzkriterium aber doch bemühen, du ziehst die (-1)^n vor den Bruch und schaust ob der Bruch an sich monoton gegen Null konvergiert, wenn er das Tut ist die Komplette Reihe nach Leibnitz konvergent.

Den Grenzwert kannst du allerdings so nicht bestimmen, du kannst in aber mit dem Majorantenkriterium mehr oder weniger abschätzen, oder du wendest einen Trick an um die Reihe auf eine Reihe mit bekanntem Grenzwert zu überführen.

Kommentar von PeterKremsner ,

Ich lass einfach ^^

Ich war jetzt wieder mal bei den Reihen, du hast Folgen.

http://massmatics.de/merkzettel/#!163:Alternierende_Folgen

hier hast du die Anleitung wie es funktioniert.

Antwort
von lks72, 24

Bei an ist der Grenzwert 1. einfach alles mit n^2 kürzen, vorher den Nenner ausmultiplizieren, dann hast du oben eine 1 und eine Nullfolge (-1)^n / n^2 , unten auch eine 1 und zwei Nullfolgen, Grenzwert ist also 1 /1 = 1. Bei b und c geht das ähnlich.

Kommentar von PeterKremsner ,

Grenzwert der ersten Folge an ist 2:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit+n+to+infinity+(2n%C2%B2%2B(-1)%5En)%2F(n%2B1)%C2%B2

Kommentar von lks72 ,

ja, hab oben übersehen, dass dort 2 • n^2 steht, also 2/1 = 2. Erklärung stimmt aber.

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja die stimmt ;)

Kommentar von linksoben ,

Ja vielen dank! Hast uns wirklich weitergeholfen! :)

Antwort
von NoTrolling, 14

Also konnten wir dir jetzt weiterhelfen? :D

Kommentar von linksoben ,

Ja vielen dank! Das leibnitzkriterium war ein guter ansatz :)

Kommentar von PeterKremsner ,

Aber wie gesagt, das Leibnitzkriterium gilt nur für Reihen nicht aber für Folgen.

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