Kann jede Gleichung der Form ax^3+bx^2+cx+d als (nx+m)(nx+m)(nx+m) geschrieben werden und falls nicht wie findet man es allgemein heraus ob es geht?

Hi,

(nx+m)(nx+m)(nx+m) = (nx+m)³.

Das kann man ausmultiplizieren:

(nx+m)³ = n³x³ + 3n²x²m + 3nxm² + m²

Das kann man jetzt wie folgt umstellen:

n³*x³ + 3n²m*x² + 3nm²*x + m³

Somit gilt a = n³, b = 3n²m, c = nm² und d = m³. Zwar können n und m selbst jeden beliebigen Wert annehmen aber die Kombination von m und n nicht, weil sie immer Vielfache (aus einer Kombination) von m und n sein müssen. Um zu widerlegen, dass diese Aussage gilt, sucht man einfach ein Gegenbeispiel. Beim Polynom f(x) = x³ + 2x² + 7x -8 funktioniert das schon nicht mehr. Dort wäre n = 1 und m = -2:

n³ = 1³ = 3

3n²m = 3*1²*(-2) = -6 (ungleich 2)

3nm² = 3*1*(-2)² = 12 (ungleich 7)

m³ = (-2)³ = -8

Wir haben damit also ein Gegenbeispiel gefunden, mit dem gezeigt ist, dass nicht jedes beliebige Polynom der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d durch die Formel (nx+m)³ dargestellt werden kann.

LG

Die Frage ist vermutlich, ob jedes kubische Polynom in (nicht notwendigerweise gleiche) Linearfaktoren zerfällt. Die Antwort ist: Das kommt darauf an.

Nämlich darauf, über welchem Körper wir uns befinden. Ist f ein Polynom über einem Körper K, so ist der Zerfällungskörper von f über K der kleinste Erweiterungskörper von K, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Ist K bereits dieser Zerfällungskörper, zerfällt f bereits über K in Linearfaktoren. So weit zur formalen Algebra.

Vermutlich geht es in deinem Fall aber gar nicht um allgemeine Körper, sondern schlicht um reelle Polynome. Dann ist die Antwort im Allgemeinen nein. Betrachte zum Beispiel



als reelles Polynom. Dann ist



und f hat nur die reelle Nullstelle -1 (und darüber hinaus die komplexen Nullstellen i und -i). Daher kann f über IR nicht in Linearfaktoren zerfallen.

Soll heißen: Lassen wir nur reelle Zahlen zu, zerfällt nicht notwendigerweise jedes Polynom in Linearfaktoren. Lassen wir aber auch komplexe Zahlen zu, stimmt die Aussage aber, dann wäre in obigem Beispiel



eine entsprechende Zerlegung.

Nein, natürlich nicht, zumindest nicht so, wie du es schreibst. Dazu siehe die Antwort von DieChemikerin.

Du kannst allerdings alle kubischen Funktionen als (mx+n)(ox+p)(qx+r) schreiben.

Das ist schon klar, weil du jede kubische Funktion als a(x+(-x0_1))*(x+(-x0_2))*(x+(-x0_3) schreiben kannst. Dabei sind x0_i die Nullstellen der Funktion.

Das geht zumindest, solange alle Nullstellen reell sind.

Nein. Die wenigsten Polynome dritten Grades lassen sich in drei GLEICHE Linearfaktoren zerlegen. Nicht einmal eine Zerlegung in drei unterschiedliche Faktoren ist immer möglich. Z.B ist f(x)=x^3+1=(x+1)*(x^2-x+1). Dass sich der rechte Faktor nicht mehr zerlegen lässt, siehst du beispielsweise, indem du seine Diskriminante berechnest.



Gehen wir einmal rückwärts:















a, b, c und d sind also voneinander nicht unabhängig. Das wäre aber die Voraussetzung.

Also nein.