Kann die Gewichtskraft ein negatives Vorzeichen haben?

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Die Gewichtskraft hat wegen F = m * g die gleiche Richtung wie das Gravitationsfeld. Ob das jetzt positiv oder negativ ist, hängt davon ab, wie man das Koordinatensystem definiert.

Wenn man das Bezugssystem "normal" orientiert (oben + unten -), ist die Fallbeschleunigung negativ und damit auch die Gewichtskraft.

Gewicht und Gewichtskraft sind dasselbe, man verwendet ersteres, um zu verdeutlichen, dass es eben nicht um die Masse geht.

Ja, da sie eine vektorielle Größe ist.