Ist sattelpunkt und Wendepunkt das selbe in Mathematik?
Mit freundlichen Grüßen
5 Antworten
Nein, ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.
Das bedeutet, an der Wendestelle hat die erste Ableitung der Funktion zusätzlich den Wert null.
Ja, das könnte ein Polynom 4-ten Grades sein, muss es aber nicht, denn es gibt ja auch noch Funktionen die keine Polynome sind.
Könnte könnte, wie kriegt man das fenn jetzt sicher heraus oder muss man raten könnte sein könnte nicht sein weil sonst ist’s ja unfair in der Prüfung bekommt man ja eine 6....
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1.) Schaue ins Internet, Google und Youtube sind deine besten Kumpel.
2.) Frage deinen Lehrer, dafür ist der da.
3.) Nimm Nachhilfeunterricht.
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5.) Hier kannst du auch mal nachfragen : https://www.mathelounge.de/
Das wars, ich verabschiede mich jetzt.
Nein nicht direkt. An einem Wedepunkt kehrt sich die vorherige Monotonie um. Das gilt auch für den Sattelpunkt. Beim diesem kommt aber noch dazu, dass die Steigung der Tangenten an dieser Stelle waagerecht also f'(x_w) = 0 ist.
Ok wie erkenne ich welchen grad eine Funktion hat? Hab grad eine Übungsstück Aufgabe die Funktion hat einen Tiefpunkt, einen hochpunkt, 2 wendestellen und noch eine extremstelle. So. Ist das jetzt 4. Grades oder mehr oder wie erkenne ich das.
Mit freundlichen Grüßen
Was sagt der Grad denn aus?
Laut Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades im Reelen maximal n Lösungen. Also maximal n Nullstellen! Also sind die maximal möglichen Nullstellen der Grad der Funktionsgleichung.
Muss sie auch nicht. Wie gesagt, im Reelen maximal n! Komplex hätte sie trotzdem komplexe Lösungen. Aber das ist nicht wichtig. Verschieb die Kurve solange nach oben oder unten (für jede Stelle selbst) bis jede Auf- und Abbewegung die x-Achse schneidet. Das ist der Grad
Ok hab ich gemacht 2 mal hat sie die Achse geschnitten. Heißt das jetzt das sie 2. Grades ist? Bestimmt nicht als ob da so ist und wennn sie die gar nicht schneidet die x achse? Dann 1. Grades Jajajajja
Dann machst du es nicht richtig. Zeig' mal her deine Funktion.
Hier die obere also Material 1.1 da Schneider sie die x Achse nur einmal also Funktion 1. Grades ? Never
Die untere also In Material 1.2 da wo ich mit Stift dran geschrieben habe f(x) die schneidet sie ja 2 mal die x Achse.... ja ob ich was falsch mache Schau du mal drüber
https://gyazo.com/dd079049f9a19f97981be3c1a2e04ebf
Das gelbe ist und Funktion selben Grades. Daraus folgen 4 mögliche NST und damit 4. grad
Okay aber bei mir hat sie doch nur eine nullstelle (die obere)?
Wie gesagt sind es maximal n Nullstellen im Reelen. Damit können es also auch weniger sein, der Grad bleibt aber immer die maximale Anzahl.
Nein.
Wenn man im eindimensionalen reellen Fall bleibt, gilt:
Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt. Aber nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt. Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte, bei denen der Funktionsgraph zusätzlich eine waagrechte Tangente hat (d.h. die Steigung/Ableitung der Funktion an der entsprechenden Stelle ist 0).
Ok wie erkenne ich welchen grad eine Funktion hat? Hab grad eine Übungsstück Aufgabe die Funktion hat einen Tiefpunkt, einen hochpunkt, 2 wendestellen und noch eine extremstelle. So. Ist das jetzt 4. Grades oder mehr oder wie erkenne ich das.
Mit freundlichen Grüßen
Das kann man anhand der von dir genannten Angaben nicht sagen.
Ein kleines Beispiel:
Die durch f(x) = x² und g(x) = x^4 gegebenen reellen Funktionen sehen relativ ähnlich aus. Beide haben einen Tiefpunkt bei (0|0) und sonst keine weiteren Extrema. Beide haben keine Wende- oder Sattelpunkte. Sie stimmen also bei Extrempunkten und Wendepunkten in gewissem Sinne überein. Trotzdem haben sie unterschiedlichen Grad. f hat Grad 2 und g hat Grad 4.
https://www.dropbox.com/s/5z38cvo58czzj0e/fx.png?dl=0
Daran sieht man, dass alleine aufgrund der Angabe von Anzahl und Lage von Extrempunkten (Hochpunkte, Tiefpunkte) und Wendepunkte (und Sattelpunkte) der Grad einer ganzrationalen Funktion nicht eindeutig bestimmt ist.
Na hier zum Beispiel. Die obere ist 4. Grades ist das richtig? Die untere f(x) wo ich des dran geschrieben ist welchen Grades ist sie? Wie erkenne ich das?
Erst einmal: Dein Hochpunkt ist kein Hochpunkt, sondern nur ein Sattelpunkt.
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Die obere sieht nach einer Funktion 4. Grades aus.
Man kann aufgrund des Verhaltens für |x| gegen unendlich, dass beide Seiten ins positive Unendliche hin verschwinden, sagen, dass der Grad gerade sein muss, also 2, 4, 6, ...
Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine quadratische Parabel, so sieht der Graph jedoch nicht aus. Außerdem kann eine Funktion zweiten Grades keinen Wendepunkt haben. Es gibt jedoch Wendepunkte.
Eine Funktion 4. Grades wäre möglich. Es könnte aber auch eine Funktion 6. oder 8. Grades sein.
Wenn man davon ausgeht, dass der Sattelpunkt bei (0|B) liegt und der Teifpunkt bei (A|0) liegt, erhält man durch die Bedingungen
f(0) = B
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f(A) = 0
f'(A) = 0
die ganzrationale Funktion 4. Grades mit der Gleichung
f(x) = 3*B/A^4 * x^4 - 4*B/A^3 * x^3 + B
Für B = 3 und A = 3.5 erhält man, wenn man die Koeffizienten auf zwei Nachkommastellen rundet:
f(x) = 0,06 x^4 - 0,28 x^3 + 3
Der Funktionsgraph sieht (für die Wahl B = 3 und A = 3.5) in etwa so aus, wie der vorgegebene Funktionsgraph.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B0.06+x%5E4+-+0.28+x%5E3+%2B+3,+%7Bx,+-2,+5%7D%5D
Mein voriger Kommentar bezieht sich auf die obere Skizze. Zur unteren schreibe ich gleich noch einen Kommentar.
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Übrigens: Dein Hochpunkt bei der oberen Skizze ist kein Hochpunkt, sondern nur ein Sattelpunkt.
Links von dem Sattelpunkt (den du auch mit Hochpunkt beschriftet hast), sind die Funktionswerte größer, was im Widerspruch dazu, dass deiner Ansicht nach ein Hochpunkt dort sein soll.
Zur unteren Skizze bei https://ibb.co/j0xFHH ...
Der mit f(x) beschriftete Graph sieht nach dem Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades aus. Ähnliche Begründung wie bei der oberen Skizze.
Außerdem ist der Graph von f'(x) um 1 kleiner als der von f(x). Und der Graph von f'(x) sieht wie ein typischer Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades aus: Genau ein Wendepunkt. Punktsymmetrie bzgl. dem Wendepunkt. Das eine Ende veschwindete nach unten, das andere Ende verschwindet nach oben. [Entweder ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. (Hier nicht der Fall.) Oder der Wendepunkt ist kein Sattelpunkt und es gibt zwei Extrempunkte: Ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt. (Hier der Fall.)]
Warum ist der sattelpunkt kein hoch punkt? Geht das nicht beides in einem?
Die Zweite Ableitung ist in einem Sattelpunkt auch null, bei einem Hochpunkt dagegen negativ. Mal dir das einfach mal auf.
Habe ich doch bereits geschrieben:
Links von dem Sattelpunkt (den du auch mit Hochpunkt beschriftet hast), sind die Funktionswerte größer, was im Widerspruch dazu, dass deiner Ansicht nach ein Hochpunkt dort sein soll.
Ein Hochpunkt zeichnet sich gerade dadurch aus, dass in einer Umgebung um den Hochpunkt kein Punkt einen größeren Funktionswert hat. Hier haben aber die Punkte links vom Sattelpunkt größere Funktionswerte.
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Hochpunkt und Sattelpunkt schließen sich quasi gegenseitig aus. Nur in wenigen entarteten Fällen kann ein Hochpunkt zugleich Sattelpunkt sein.
Nämlich dann wenn die Funktion konstant ist, beispielsweise die durch f(x) = 2. Hier ist jeder Punkt ein Hochpunkt und jeder Punkt ein Sattelpunkt. (Auch ist dann jeder Punkt eine Tiefpunkt und jeder Punkt ein Wendepunkt.)
Da hast du in vielen Fällen recht, aber nicht immer. Beispiel:
f(x) = 1 - x^4
Hier ist f''(0) = 0. Die Ableitung ist also an der Stelle x = 0 nicht negativ, sondern gleich 0. Trotzdem ist der Punkt (0|1) ein Hochpunkt.
Langer Rede kurzer Sinn:
wenn an einer Stelle f '(x) = 0 und f ' '(x) = 0 sind, ist dort (fast) mit Sicherheit ein Sattelpunkt. Das gilt ab x³.
x³ selbst ist ein guten Beispiel.
Man kann es sich so vorstellen:
es handelt sich um einen Wendepunkt, der von einer Seite aus betrachtet ein Hochpunkt ist, jedoch betrachtet von der anderen Seite ein Tiefpunkt.
Ok wie erkenne ich welchen grad eine Funktion hat? Hab grad eine Übungsstück Aufgabe die Funktion hat einen Tiefpunkt, einen hochpunkt, 2 wendestellen und noch eine extremstelle. So. Ist das jetzt 4. Grades oder mehr oder wie erkenne ich das.
Mit freundlichen Grüßen
Das erkennst du zunächst einmal gar nicht, wenn du nur ein Stück Funktion zu sehen bekommst, weil du ja gar nicht weißt, ob in einigen Punkten zwei- oder dreipunktige Berührungen vorkommen.
Meist ist die Funktion jedoch gegeben, und dann ist die höchste vorkommende Potenz der Grad der Funktion.
Bei Steckbriefaufgaben ist es ggf. wieder kritisch. Kanst du n Angaben identifizieren, dann wird die Funktion im Regelfall vom Grad (n - 1) sein. Ein Sattelpunkt liefert 2 Angaben.
Aber hier ist eine Prüfungs Aufgabe da muss ich nur durchs erkennen, den richtigen grad aufschreiben...
Beim n-ten Grad gibt es maximal n reelle Nullstellen,
maximal n - 1 Extremwerte und maximal n - 2 Wendepunkte.
Oberer Graph:
4. Grad, das hast du ja selbst schon herausgekriegt;
der Sattelpunkt besteht quasi aus 2 Extremwerten
und ist selbst der zweite Wendepunkt
Mittlerer Graph:
3. Grad: 2 Extremwerte, 1 Wendepunkt
Unterer Graph:
4. Grad: 3 Extremwerte, 2 Wendepunkte
Nein, ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, bei dem die erste ableitung 0 ist also die Tangente waagerecht. Das kannst du dir wie einen Sattel vorstellen, wenn du darauf sitzt ist es gerade. Wenn das Pferd nun vorne oder hinten sich anhebt, ist die Tangente nicht mehr grade und du fällst runter, weil du nicht mehr gerade sitzen kannst. Das ist dann ein normaler Wendepunkt und kein Sattelpunkt mehr.
Ok wie erkenne ich welchen grad eine Funktion hat? Hab grad eine Übungsstück Aufgabe die Funktion hat einen Tiefpunkt, einen hochpunkt, 2 wendestellen und noch eine extremstelle. So. Ist das jetzt 4. Grades oder mehr oder wie erkenne ich das.
Mit freundlichen Grüßen