Ist R\Q ein Q-Vektorraum in R?
Hallo,
ich würde sagen ja, denn die Summe zweier irrationaler Zahlen ist ja immer noch irrational. Außerdem ist jede irrationale Zahl auch mal einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl.
Lässt sich das aber irgendwie "mathematischer" zeigen?
4 Antworten
denn die Summe zweier irrationaler Zahlen ist ja immer noch irrational
Nein, das ist nicht unbedingt der Fall.
Beispielsweise sind 3 - √(2) und √(2) zwei irrationale Zahlen.
Die Summe der beiden Zahlen ist 3, was eine rationale Zahl ist.
Außerdem ist jede irrationale Zahl auch mal einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl.
Nein, auch das ist nicht unbedingt der Fall.
Beispielsweise sind √(2) und √(8) zwei irrationale Zahlen.
Für das Produkt erhält man √(2) ⋅ √(8) = √(2 ⋅ 8) = √(16) = 4.
Und 4 ist eine rationale Zahl.
[Mal davon abgesehen, hat die Multiplikation zweier rationaler Zahlen nicht allzu viel mit der Frage zu tun, ob ℝ∖ℚ ein ℚ-Vektorraum ist. Schließlich muss man in Vektorräumen nicht unbedingt Vektoren mit Vektoren multiplizieren können.]
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Ist R\Q ein Q-Vektorraum in R?
Nein, ℝ∖ℚ ist kein ℚ-Vektorraum in ℝ.
Das kann man auch schon daran erkennen, dass es in einem Vektorraum einen Nullvektor (d.h. ein neutrales Element der Addition) geben muss. Dies ist hier aber nicht der Fall, da 0 ∈ ℚ und damit 0 ∉ ℝ∖ℚ ist.
Oh, stimmt. Da habe ich mich verlesen.
(Und: Ja. Wenn man die 0 noch ausschließt, stimmt das.)
@FataMorgana2010 @mihisu Hallo ihr beiden, ich habe mal eine kurze Frage, ob ihr das auch so seht:
https://gyazo.com/90ae0e3a6aef6476d0e2cca09b017c2b
(1) ist kein Untervektorraum, denn bspw. sind (1,-1) und (1,1) Elemente der Menge, aber (1,-1)+(1,1)=(1,0) nicht.
(2) ist auch kein Untervektorraum, denn (0,1) und (1,0) sind Elemente, aber (1,1) nicht.
(3) hatten wir ja gerade
(4) auch nicht, denn f(n)*0=0 und damit nicht in der Menge...
Bei (1), (2) liegst du richtig. (3) hatten wir gerade.
Bei (4) liegst du falsch. Die Nullabbildung liegt doch in der Menge. [Vielleicht hast du da kurz „≠ 0“ mit „= 0“ in deinem Kopf verwechselt.] Und man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um einen Untervektorraum handelt.
Ist das quasi die Menge der gegen 0 konvergierenden Folgen?
Nein. Das ist nur eine Teilmenge der gegen 0 konvergierenden Folgen. Beispielsweise ist die durch f(n) = 1/n gegebene Folge f nicht in der Menge enthalten, obwohl diese Folge f gegen 0 konvergiert.
Es handelt sich um die Menge der reellen Folgen mit endlichem Träger.
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Hier übrigens ein Beweis, dass es sich tatsächlich um einen Untervektorraum handelt: https://i.imgur.com/CrGYgQU.png
Vielen Dank. Den Begriff "Träger" kannte ich gar nicht, werde ich mir mal ansehen
Du meinst aber vermutlich , dass es ein N-2 gibt, so dass f_2(n)=0 (Tippfehler)
Die Summe zweier irrationalen Zahlen muss nicht irrational sein, zb π+(-π) = 0
Aber selbst wenn man 0 einfach als irrationale Zahl durchgehen lässt:
Sei a in Q, b in R\Q, dann ist a-b in R\Q, aber b +(a-b) =a
Wurzel(2) mal Wurzel(2) ist nicht irrational
Die Summe zweier irrationaler Zahlen muss nicht irrational sein.
√2 und -√2 sind beide irrationale Zahlen, die Summe ist 0.
Das zweite stimmt aber natürlich, und das kann man auch gut mathematisch aufschreiben:
Sei a eine irrationale Zahl und b eine rationale Zahl (beide ungleich Null). Das heißt, dass sich b als Quotient zweiter ganzer Zahlen schreiben lässt. Sei nun angenommen, dass das Produkt aus a und b eine rationale Zahl c ist. Da c rational ist, lässt sich auch c als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben.
Das heißt, es gibt ganze Zahlen q,r,s,t mit
b = q/r und c = s/t.
Dann haben wir insgesamt
a * b = c, also
a * q/r = s/t
Jetzt nehmen wir diese Gleichung mit r/q mal und bekommen
a * q/r * r/q = s/t * r/q
a * 1 = s/t * r/q
a = (sr)/(tq)
d. h. im Widerspruch zur Annahme "a irrational" lässt sich a nun als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben.
Also kann die Annahme "c rational" nicht stimmen.qed
Die Frage war aber nicht, ob die Multiplikation zweier irrationaler Zahlen rational ist, sondern ob die Multiplikation einer rationalen und einer irrationalen Zahl immer irrational ist. Und das ist tatsächlich so (wenn die rationale Zahl nicht gerade Null ist).