Ist folgende Menge abzählbar: (Komplexe Zahlen ohne Reelle Zahlen)?
Ich weiss, dass N, Z, Q, R ohne Q abzählbar sind und R und C unabzählbar. Was gilt für C ohne R??? Vielen Dank im Vorraus
4 Antworten
Ich weiss, dass N, Z, Q, R ohne Q abzählbar sind und R und C unabzählbar. Was gilt für C ohne R???
ℝ\ℚ ist nicht abzählbar, wer hat Dir den den Floh ins Ohr gesetzt? Wäre ℝ\ℚ abzählbar, so wäre es auch ℝ, da ℚ abzählbar ist und die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist.
Natürlich gilt das auch und erst recht für ℂ\ℝ.
Interessanterweise ist übrigens |ℂ| = |ℝ|, wobei die Betragsstriche bei Mengen natürlich nicht für eien Betrag, sondern die Kardinalität der Menge stehen, ihre Mächtigkeit. Das ist nicht selbstverständlich, da ja ℂ mit ℝ² identifizierbar ist, bis auf die Möglichkeit, die Elemente von ℝ² miteinander zu multiplizieren.
Da bereits die Menge der imaginären Zahlen überabzählbar ist (Bijektion auf die reellen Zahlen ist trivial), ist auch C ohne R überabzählbar.
Für Pedanten: $i \mathbb{R} \setminus \{0\} \subset \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$
Die Menge { x+i | x∈ℝ } ist eine überabzählbare Teilmenge von ℂ∖ℝ. Also ist auch ℂ∖ℝ überabzählbar, q.e.d.
R ohne Q abzählbar
Gib mir eine Aufzählung von ℝ∖ℚ. Ich vermische sie 1:1 mit einer ℚ-Aufzählung und habe dann eine Aufzählung für ℝ — nanu?
C\R ist nicht abzählbar. Wenn wir C mit RxR identifizieren mit RxR->C: (a,b)->(a,b)=:a+bi, dann lässt sich C\R identifizieren mit R->C: a->(0,a)=:ai, dann ist das offensichtlich eine bijektive Abbildung. Somit ist C\R überabzählbar unendlich.
Keine Ahnung ob und was ich da grad falsch versteht, aber in der zweiten Abbildung nehm ich doch praktisch nur {0}xR her, und nich R²\{{0}xR}? Das bei letzterem mehr bleibt als bei ersterem is mir schon klar.
Obacht. Wenn du aus der Fläche R x R den Streifen R x {0} rausschneidest, bleibt deutlich mehr als {0} x R übrig. Deine Bijektion ist also keine!