Frage von LBJames, 121

Ist folgende Menge abzählbar: (Komplexe Zahlen ohne Reelle Zahlen)?

Ich weiss, dass N, Z, Q, R ohne Q abzählbar sind und R und C unabzählbar. Was gilt für C ohne R??? Vielen Dank im Vorraus

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 49

Ich weiss, dass N, Z, Q, R ohne Q abzählbar sind und R und C unabzählbar. Was gilt für C ohne R???

ℝ\ℚ ist nicht abzählbar, wer hat Dir den den Floh ins Ohr gesetzt? Wäre ℝ\ℚ abzählbar, so wäre es auch ℝ, da ℚ abzählbar ist und die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist.

Natürlich gilt das auch und erst recht für ℂ\ℝ.

Interessanterweise ist übrigens |ℂ| = |ℝ|, wobei die Betragsstriche bei Mengen natürlich nicht für eien Betrag, sondern die Kardinalität der Menge stehen, ihre Mächtigkeit. Das ist nicht selbstverständlich, da ja ℂ mit ℝ² identifizierbar ist, bis auf die Möglichkeit, die Elemente von ℝ² miteinander zu multiplizieren.

Antwort
von ralphdieter, 48

Die Menge { x+i | x∈ℝ } ist eine überabzählbare Teilmenge von ℂ∖. Also ist auch ℂ∖ überabzählbar, q.e.d.

R ohne Q abzählbar

Gib mir eine Aufzählung von ℝ∖ℚ. Ich vermische sie 1:1 mit einer ℚ-Aufzählung und habe dann eine Aufzählung für ℝ — nanu?

Antwort
von kepfIe, 76

C\R ist nicht abzählbar. Wenn wir C mit RxR identifizieren mit RxR->C: (a,b)->(a,b)=:a+bi, dann lässt sich C\R identifizieren mit R->C: a->(0,a)=:ai, dann ist das offensichtlich eine bijektive Abbildung. Somit ist C\R überabzählbar unendlich.

Kommentar von oepwq18KHS2wKZZ ,

Obacht. Wenn du aus der Fläche R x R den Streifen R x {0} rausschneidest, bleibt deutlich mehr als {0} x R übrig. Deine Bijektion ist also keine!

Kommentar von kepfIe ,

Keine Ahnung ob und was ich da grad falsch versteht, aber in der zweiten Abbildung nehm ich doch praktisch nur {0}xR her, und nich R²\{{0}xR}? Das bei letzterem mehr bleibt als bei ersterem is mir schon klar.

Kommentar von kepfIe ,

Ok habs verstanden... nachts um halb 12 funktionier ich iwi nich so richtig :|

Antwort
von oepwq18KHS2wKZZ, 59

Da bereits die Menge der imaginären Zahlen überabzählbar ist (Bijektion auf die reellen Zahlen ist trivial), ist auch C ohne R überabzählbar.

Für Pedanten: $i \mathbb{R} \setminus \{0\} \subset \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$

Antwort
von Roderic, 32

Nicht abzählbar.

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