Wie zeige ich das die Rationale Zahlen abzählbar ist?
Hallo. Was ich bisher weiß ist, das die Positiven rationalen zahlen abzählbar sind und das die Ganzen zahlen abzählbar sind. Wie zeige ich nun das die Rationalen Zahlen abzählbar sind ?
3 Antworten
Wenn du verwenden darfst, dass die positiven rationalen Zahlen abzählbar sind, ist die Beweisskizze einfach:
Q ist die disjunkte Vereinigung dreier Mengen:
Wir wissen, dass eine Bijektion zwischen IN und Q+ existiert. Weil die Menge der geraden Zahlen gleichmächtig zu IN ist, ist diese auch gleichmächtig zu Q+, also existiert auch eine Bijektion von 2IN auf Q+. Selbiges Argument können wir auf die Menge der ungeraden Zahlen IN \ 2IN anwenden und damit eine Bijektion zwischen dieser Menge und Q- (was ja im Grunde nichts anderes als -1Q+ ist) herstellen. Mithilfe dieser beiden Abbildungen können wir uns dann eine Bijektion zwischen IN und Q \ {0} konstruieren. Dass auf die 0 abgebildet wird, können wir dann noch einfach erreichen, indem wir eine der beiden disjunkten Abbildungsvorschriften verschieben.
Alternativ Cantors Erstes Diagonalargument.
LG
Nun, du kombinierst einfach den Beweis der Abzählbarkeit der ganzen Zahlen mit dem ersten Cantorschen Diagonalargument
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
Finde eine Methode allen rationalen Zahlen eine natürliche Zahl zuzuordnen. Da gibt es viele Methoden. Am einfachsten ist wohl die hier:
