Grenzwert der Folge bestimmen?
Hi, ich komme hier nicht weiter. Ich hab versucht irgendwie auf die Darstellung (1+1/n)^n zu kommen , da hiervon der grenzwert die eulersche zahl ist aber das - und die rationale Zahl irritiert mich.
Q ist eine rational positive zahl und die folge ist konvergent.
Gruß
2 Antworten
Ich würde vermuten dass für jedes q > 0 der Grenzwert der Folge 1 ist.
https://www.allmath.com/de/grenzwert-rechner.php
Für q = 1 und q = 0.5 stimmt das jedenfalls.
Zunächst ist jedes Folgenglied offensichtlich kleiner als 1. Weiter ist die Folge genau so offensichtlich monoton wachsend. Nun mußt du nur noch zeigen dass 1 tatsächlich nicht nur obere Schranke, sondern auch Supremum ist. Ich habe dafür jetzt keinen Beweis bei der Hand, aber das ist ja auch deine Aufgabe :-). Eventuell kann dir die allgemeine binomische Formel helfen.
Du könntest zeigen, dass a_n konvergiert und dann den Grenzwert von
b_n := (1 - 1/n^(1 + q))^n/(1 - 1/n)^n, n>=2,
abschätzen. Es lässt sich leicht sehen, dass
e^q >= b_n >= e ist für alle n in lN.
Daraus folgt, dass
1 >= lim a_n = lim b_n * lim_e_n >= e•1/e >= 1,
wobei e_n := (1 + 1/n)^n.
Damit hast du schonmal q in lN abgedeckt.
wie würde ich dies rechnerisch zeigen?