was sind reelle zahlen? :)
kann jemand gut erklären was reelle zahlen sind?
10 Antworten
Hierzu hole ich etwas aus: Natürliche Zahlen kennt man seit der Grundschule. Für die ganzen Zahlen kommen noch die negativen Zahlen dazu. Als nächstes kommne die rationalen Zahlen. Dies sind alle (positiven und negativen) Zahlen, die man als Bruch schreiben kann (also auch Zahlen wie 1 oder 1,257 usw.).
Außerdem gibt es noch die irrationalen Zahlen, die man eben nicht als Bruch schreiben kann. Dies sind beispielsweise Wurzel aus 2 oder auch pi.
Fasst man irrationale und rationale Zahlen zusammen, ist man bei den reellen Zahlen. Also eigentlich alle Zahlen, mit den man in der realen Welt umgehen kann.
Die reellen Zahlen werden von den rationalen und den irrationalen Zahlen gebildet.
Rationale Zahlen sind positive und negative ganze und gebrochene Zahlen. Alsoi alle Zahlen und Brüche mit + oder - als Vorzeichen und die 0.
Irrationale Zahlen sind alle unendlichen Zahlen, die beim Wurzel-Ziehen entstehen. Z.B. Wurzel aus 2 oder Wurzel aus 7. Dazu kommen noch die transzendenten Zahlen (e und π).
Die Wurzel aus 4 gehört zu den rationalen Zahlen, ist ja endlich, nämlich 2. Wurzel aus 6,25 ist 2,5 - also auch rational.
Da sind wir aber nicht einer Meinung!
Natürlich habe ich alles etwas vereinfacht dargestellt, damit man es leichter verstehen kann. Trotzdem ist alles fachlich korrekt!
Wer Teilsätze zitiert, um Recht zu behalten, kann ja bei der BILD anheuern... Die Bruchdarstellung hatte sich bei meiner Betrachtung der irrationalen Zahlen schon erledigt, da Brüche ja immer rational sind.
Wurzel 2 ist ganz sicher nicht endlich, da diese Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat.
Trotzdem ist alles fachlich korrekt!
Korrekt ist, was du über die rationalen Zahlen, aber nicht, was du über die irrationalen Zahlen geschrieben hast.
Wer Teilsätze zitiert, um Recht zu behalten, kann ja bei der BILD anheuern...
Mach dich mit dem Sinn von Zitaten vertraut und werde nicht unsachlich.
- Eine reelle Zahl heißt rational, wenn sie als Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar ist.
- Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar ist.
Das sind die Definitionen - wie man auch im Mathe-Buch oder bei wikipedia nachschlagen kann. Diese Nachkommastellen-Geschichte ist bloß ein abgeleiteter Satz und nicht die Definition.
Wurzel 2 ist ganz sicher nicht endlich, da diese Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat.
Wie so viele verwechselst du die Dezimaldarstellung einer Zahl mit der Zahl selbst. Wurzel(2) liegt zwischen 1,4 und 1,5 ist also eine kleine Zahl - und keineswegs unendlich. Dass sie unendlich viele Nachkommastellen hat, ist eine Eigenschaft ihrer Darstellung im Dezimalsystem und nicht der Zahl selbst. Auch 1/3, 1/6, 1/7 etc haben eine unendliche Dezimaldarstellung (aber periodisch, weil es rationale Zahlen sind, weswegen die Unterscheidung periodisch - nichtperiodisch wichtig ist), aber an den Zahlen selbst ist nichts unendlich.
Unendlich Zahlen gibt es auch - etwa Kardinalzahlen ab Aleph0, oder transfinite Zahlen. Das sind dann aber auch keine reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind immer endlich.
einfach gesagt: alle zahlen die du mit vor und nachkommateil schrieben kannst.
präzise: erweiterung der rationalen zahlen um die irrationalen zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen ist heute der für Anwendungen der Mathematik wichtigste Zahlenbereich: Eine Vielzahl von (berechneten) physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse können mit reellen Zahlen als Maßzahl angegeben werden. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten bijektiv zugeordnet.
Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen. Diese Erweiterung ist nötig, weil die rationalen Zahlen für manche Längen keine Maßzahl bereitstellen, zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 oder für die Teilstrecken in einem Pentagramm mit der Seitenlänge 1. Schon die Pythagoräer erkannten die Notwendigkeit, den Zahlbegriff über die Längenverhältnisse (die durch rationale Zahlen beschrieben werden) hinaus zu erweitern. Erst die moderne Mathematik hat aber den Bereich der reellen Zahlen definiert und damit dem Grenzwertbegriff und der gesamten Analysis ein festes Fundament gegeben.
Aus Wikipedia
Zu reellen Zahlen zählt alles was ganzzahlig (Menge Z) ist - egal ob negativ oder positiv. Zusätzlich zählt noch alles aus der Menge Q dazu - also alle Brüche 3/4, 1/2 und alle Kommazahlen, die endlich oder periodisch sind.
Zu den Reellen Zahlen gehören zusätzlich noch die eulersche Zahl und pi dazu und dann noch alle Zahlen, die rauskommen können, wenn aus einer positiven Zahl eine Wurzel gezogen wird.
Ja.
Bitte nicht. Es sind die, die sich eben nicht als Bruch darstellen lassen. Mit dem "unendlich", das bezieht sich bloß auf die Darstellung im Dezimalsystem (es müsste auch heißen "unendlich und nicht-periodisch"); es ist die auch nicht die Definition, sondern bloß ein abgeleiteter Satz. Definiert sind Irrationalzahlen dadurch, dass sie nicht als Bruch darstellbar sind.
Sie ist als Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar (Wurzel(4) = 2 = 2/1) und deswegen rational.
Wurzel(2) ist ebenfalls endlich (ist ja kleiner als 1,5), aber nicht als Bruch darstellbar. Daher irrational.