Ist eine 2-Fach differenzierbare Funktion n-Fach differenzierbar?
Hallo,
Die Frage ist: wenn eine Funktion 2-Fach differenzierbar ist, ist dies auch n-fach wobei n>2 differenzierbar?
Wie ich es verstehe heißt es also, wenn sich eine Funktion 2 mal ableiten lässt, lässt sie sich auch n mal ableiten. Wobei die Lösung nicht unendlich sein darf wenn man etwas für x einsetzt. Korrekt? Ich finde aber kein Beispiel wo eine Funktion sich 2 mal ableiten lässt aber nicht beim 3. mal.
z.B. f(x) = x^2, f'(x) = 2x, f''(x) = 1, f'''(x)= 0 nun bleibt die Funktion immer null, der Grenzwert ist also immer 0 und somit differenzierbar. Ich würde also sagen eine 2-Fach differenzierbare Funktion ist n-Fach differenzierbar. Wie beweise ich es aber mit der Definition der Differenzierbarkeit?
Lg
2 Antworten
Polynome sind immer unendlich differenzierbar, so wie alle glatten Funktionen.
Die Funktion |x³| ist zB nur zweimal überall differenzierbar. Damit ist deine Behauptung widerlegt und auch nicht beweisbar.
Die 2. Ableitung ist (nach meiner Rechnung) 6|x|
6|x| stimmt nicht, aber die Eigenschaft bleibt gleich.
f(x)=|x³|
f'(x)=3x*|x|
f''(x) = 6x²/|x| für x != 0 und 0 für x = 0
f'''(x) gibts nun nicht mehr da diese Funktion nun nicht mehr differenzierbar ist.
also die Grenzwerte sind verschieden und somit ist die 2. Ableitung nicht differenzierbar.
Richtig somit ist die Funktion genau 2 mal differenzierbar.
Wenn du eine genau 5 mal ableitbare Funktion willst dann nimm:
f(x)=|x^5|
Deine Vermutung war ja dass jede Funktion welche öfter als 2 mal ableitbar ist n mal ableitbar ist, was offensichtlich nicht stimmt.
Nein, das stimmt so nicht. Zu jedem n > 0 gibt es eine Funktion, die n-mal, aber nicht n+1-mal differenzierbar ist.
Für Polynome (und generell "analytische Funktionen" stimmt es, aber nicht im Allgemeinen.
Kelec hat schon auf Funktionen| hingewiesen, die |x| als eine ihrer (höheren) Ableitungen haben. Allgemein kann man "Stammfunktionen" beliebig hoher Ordnung zu f(x) = |x| konstruieren (Stammfunktion: Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ist - übrigens haben die üblichen Funktionen aus dem Unterricht mindestens eine Stammfunktion, aber eben nicht jede Funktion.)
F_1(x) = 1/2 x |x| hat als 1. Ableitung die Betragsfunktion und ist an der Stelle 0 nur 1-mal differenzierbar.
F_2(x) = 1/6 x^2 |x| hat als 2. Ableitung die Betragsfunktion und ist an der Stelle 0 nur 2-mal differenzierbar.
F_3(x) = 1/24 x^3 |x|
F_4(x) = 1/120 x^4 |x|
etc.
Übrigens gibt es stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, aber Stammfunktionen haben. Damit gibt es zu jedem n > 0 mindestens eine Funktion, die auf ihrem ganzen Definitionsbereich n-mal aber nicht n+1-mal differenzierbar ist.
Die 2. Ableitung ist (nach meiner Rechnung) 6|x| und wenn ich den linksseitigen und rechtseitigen Grenzwert bei x= 0 überprüfe kommt -6 & 6 raus, also die Grenzwerte sind verschieden und somit ist die 2. Ableitung nicht differenzierbar.