Ist ein Basiswechsel = Wechsel zu einem anderen Koordinatensystem?
Ist ein Koordinatensystem im Allgemeinen durch seine Basisvektoren definiert? Wenn ich zum Beispiel das kartesische System betrachte, sind die 3 Basisvektoren î=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1).
Wenn ich jetzt z.B. die Basis ändere, befinde ich mich dann immer noch im kartesischen System?
Oder habe ich nur die "Sprache" geändert, mit der ich einen Vektor im kartesischen System beschreibe?
Mein Missverständnis beruht wahrscheinlich darauf daß ich keine klaren Unterschied zwischen Koordinatensystem und Vektorraum habe, ist aber nur eine Vermutung.
Und die Frage ist ursprünglich durch den "Perspektivenwechsel": Ã = Q^-1 * A * Q entstanden.
Bis jetzt denke ich, dass ein Basis Wechsel nicht das Koordinatensystem ändert, da die Basisvektoren selbst ja immer noch mithilfe des Koordinatensystems beschrieben werden.
1 Antwort
https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)
Nur für "lineare" Koordinatensysteme, hier aber "ja".
Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales System, d. h. die Koordinatenachsen bzw. Einheitsvektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander.
Eine Basistransformation erzeugt im Allgemeinen schiefwinklige Koordinatensysteme, das heißt aber nicht, dass das "neue" Koordinatensystem in keinem Fall orthogonal sein kann. Allein schon deshalb, weil die Identität immer eine zulässige Transformation ist. Aber auch eine zyklische Vertauschung von (e_x, e_y, e_z) liefert ein anderes, aber wieder kartesisches, Koordinatensystem (sogar mit derselben "Orientierung").
Wie du sagst, ändert eine Koordinatentransformation die "Sprache", in der ein Vektor beschrieben wird. Aber diese Sprache beschreibt den Vektor im Allgemeinen in einem anderen System, insbesondere nicht mehr in einem kartesischen System. Ähnlich, wie eine aus dem Deutschen ins Französische übersetzte Beschreibung eines Gegenstandes denselben Gegenstand beschreibt, allerdings nicht mehr auf deutsch.
Also wenn es immer noch den selben Gegenstand beschreiben soll, nur aus einer anderen Perspektive, dann müsste dieser Wechsel, also die geänderten Basisvektoren ja immer noch durch das zugrundeliegende kartesische system beschrieben werden. Angenommen ich Schere meinen Raum î=(2,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) (ich glaube zumindestens das dass scheren ist) dann basiert die Angabe dieser 3 Basisvektoren ja immer noch auf dem kartesischen Koordinatensystem, nur das ich jetzt die Vektoren mit der Linearkombination des geänderten î beschreibe
Stell dir ein Haus vor, dessen Wände nicht in Nord-Süd- bzw. Ost-West-Richtung stehen, sondern in Nordost-Südwest- bzw. Nordwest-Südost-Richtung.
Du kannst dann sagen, dass Stuhl B von Stuhl A aus gesehen 3 m parallel zur Straßenfront in Richtung Stadtmitte steht oder dass Stuhl B von Stuhl A aus gesehen 2,12 m südlich und 2,12 m östlich steht.
Du kannst natürlich sagen, dass die Südrichtung etwa 0,707 in Richtung Stadtmitte und 0,707 in Richtung Waldrand liegt, um alles im hauseigenen Koordinatensystem zu beschreiben. Aber das ist ziemlich künstlich.
Ebenso, wenn du das hauseigene Koordinatensystem mit dem Nord-Ost-System beschreiben willst.
Vor allem gibt es keinen inneren Grund, weshalb das eine Koordinatensystem dem anderen vorgezogen werden sollte.
Zu deiner Ergänzung 2: Du kannst auch die französische Übersetzung auf deutsch beschreiben. Das ändert aber nichts daran, dass der übersetzte Text in einer anderen Sprache verfasst ist.
Oder wir bemühen die spezielle Relativitätstheorie. Eine Änderung des Bewegungszustandes ist hier auch nichts weiter als eine lineare Koordinatentransformation. Natürlich kann man aus dem System des Beobachters A heraus beschreiben, was Beobachter B sieht, und umgekehrt. Aber - und das führt zu dem Namensbestandteil "relativ" - sind beide Beschreibungen völlig gleichwertig und es gibt physikalisch bedingt keine Möglichkeit, zu unterscheiden, welche Beschreibung zuerst da war bzw. welche der beiden Beschreibungen sich von der anderen herleitet.