Dimension von Spann?

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Da ich in einem R^3 Vektorraum bin, habe ich doch auch drei Basisvektoren.

Z.B. a1=(1,0,0) a2=(0,1,0) a3=(0,0,1)

Wäre dann nicht die zu ermittelnde Dimension 3? Und wie bekomme ich das in Abhängigkeit von Alpha hin?

Answer 1

[Willibergi]

Es ist nicht gesagt, dass die drei gegebenen Vektoren Basisvektoren sind. Die drei Vektoren bilden zumindest einen Unterraum des IR³. Ob das der ganze IR³ ist, musst du herausfinden - das wäre der Fall, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind.

Die Frage ist also jetzt: Für welche Alpha sind die drei Vektoren linear unabhängig? Denn die Dimension des Unterraums ist ja nichts Anderes als die Anzahl der linear unabhängigen erzeugenden Vektoren (danach wäre dann also auch noch zu überprüfen, für welche Alpha die drei Vektoren wie linear abhängig sind, d.h. für welche Alpha sind zumindest noch zwei Vektoren linear abhängig, für welche Alpha gar keine?).

Geometrisch überlegst du dir, was die drei Vektoren aufspannen: Ist das ein dreidimensionaler Raum, eine Ebene oder nur eine Gerade?

Answer 2

[Kurax151]

Schau dir mal alpha= - 4 an in Bezug auf lineare Unabhängigkeit

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium