Dimension einer Matrix
hallo, ich verstehe nicht ganz, warum diese matrix (ich hoffe, man kann es erkennen)
0 0 0 0
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
die dimension 3 und nicht dimension 2 hat. kann mir das vllt jemand erklären?
vielen dank
4 Antworten
Hallo Molly! Eine Matrix hat keine DImension, weil sie nämlich eine Abbildung von einer Menge auf eine andere beschreibt.
Eine Dimension haben Räume, welche von einer Menge von Elementen wie zb Vektoren aufgespannt werden, und die Dimension gibt die kleinste Anzahl der dazu notwendigen Vektoren an.
Da man hier eine quadratische Matrix mit 4 Zeilen hat, beschreibt diese Matrix also eine Abbildung von einem 4dim Raum (zb V) in einen anderen 4dim Raum (zb W), dh A:V-->W.
Die Spaltenvektoren geben die Koordinaten einer von V abgebildeten Basis in W an.
2 Basisvektoren werden somit auf 0 abgebildet, 2 restlichen sind lin. abhängig. Damit ist der Kern der Abbildung gleich 3, der Rang gleich 1.
Zur Info: Der Kern ist die Dimension des Teilraumes in V, der auf 0 abgebildet wird, der Rang ist die Dimension des nach W abgebildeten Raumes.
Es gilt immer: Kern+Rang=DimV
Um Rang und Kern in der Praxis leicht berechnen zu können, reicht es, eine gegebene Matrix mittels Gausschen Eliminationsverfahrens in eine Treppenform zu bringen. Die Anzahl der Null-Zeilen entspricht dem Kern, die der restlichen Zeilen dem Rang der Matrix.
Hallo! Ich weiß der Post ist schon was länger her, aber lerne gerade auch für meine Mathe Prüfung, und verstehe hier nicht ganz was ich falsch gemacht habe.
Ich hab mir zum Üben einfach mal die Matrix genommen. Dass dim Bild A = 1 sieht man ja sofort. Aber warum ist dim kern A =3? wenn ich das LGS A*x=0 löse, bekommt nur raus dass x2=x3 ist. Und das x1 und x4 beliebig sind. Ich dachte die Lösung sei dann:
Kern A ={a*[ 0, 1, 1, 0)^T | aeR}
Das kann ja dann nicht ganz richtig sein, weil die Dimension davon ja 1 wäre und nicht 3. Kannst du mir vielleicht erklären wie du auf 3 gekommen bist?
Der Kern einer linearen Abbildung ist keine ganze Zahl sondern ein Vektorraum. Der Kern ist die Menge der Elemente aus V, die auf das Nullelement (Nullvektor) aus W abgebildet werden.
kann es vielleicht daran liegen, dass (von links aus gesehen) die letzte ausgefüllte spalte die dritte ist mit -1? da der vierte spaltenvektor leer ist, folgt dim 3?!
Meinst du vll. den Rang der Matrix? Eine Matrix hat so gesehen keine Dimensionen. Oder stellt diese Matrix eine lineare Abbildung dar?
Eine Matrix hat keine Dimension, allenfalls einen Rang.
Die Dimension des Vektorraums, der von den Vektoren aufgespannt wird, die aus den Zeilen der Matrix A gebildet werden, ist dann gleich dem Rang der Matrix.
Obendrein verwechselst du dies noch anscheinend mit der Dimension des Kerns der Matrix.
ok?