Fragen zu Homomorphismus, lineare Abbildungrn und Matrizen?
Hallo,
ich brauche Hilfe bei folgenden Fragen:
- Wieso ist ein Unterraum der Definitionsmenge erzeugt von den Zeilenvektoren einer Matrix?
- Wieso ist die Dimension des Homomorphismus(V,W) Vektorraum gleich der Dimension der Spaltenvektoren plus die der Zeilenvektoren ( es gilt doch auch dim V * dim W = dim Hom(V,W), denn dann müsste die Matrix ja vollen Rang haben, dass ist aber nicht zwangsweise so?)? Also warum ist die Dimension der Matrix gleich die Anzahl der Spalten mal die der Zeilen?
- Ich hätte mir den Vektorraum des Homomorphismuses von V und W so vorgestellt, dass alle Operationen über den Funktionswert laufen (ist ja so auch definiert), müsste dann nicht eigentlich die Dimension des Homomorphismuses gleich der des Vektorraums W sein, da ja die Funktionswerte in W sind?
Über Antworten auf meine Fragen würde ich mich sehr freuen!!
1 Antwort
Du musst ein bisschen aufpassen. Du hast einerseits die Dimension der beiden Vektorräume V und W und dann die Dimension des Vektorraums Hom(V,W).
Das sind immer Dimensionen von Vektorräumen.
Die Dimension einer einzelnen Matrix dagegen ist eigentlich nicht wirklich definiert, man spricht in der Mathematik da von Typ ("eine mxn-Matrix"). Das gleiche gilt für eine Abbildung. Was soll denn die Dimension einer Abbildung sein?
- Die Formulierung ist komplett unklar. Kannst du da mal die Originalformulierung reinstellen?
- Die Dimension von Hom(V, W) ist gleich dim V * dim W. Das ist nicht die Dimension einer Matrix, sondern die Dimension des Vektorraums, der alle Matrizen über dem Körper enthält. Jedes Element von Hom(V, W) ist eine lineare Abbildung, jede lineare Abbildung kann man mit einer Matrix identifizieren. Eine lineare Abbildung von V nach W entspricht dabei Matrix mit dim V Spaltenvektoren und dim W Zeilenvektoren. Darum ist
also die Dimension des VR, der alle Matrizen mit dim V Spalten und dim W Zeilen enthält.
Eine kanonische Basis dieses VR sind die Matrizen, die an genau einer Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine Null enthalten. Es ist eigentlich sofort klar, dass diese Matrizen erstens linear unabhängig sind und zweitens ein Erzeugendensystem bilden. Und es ist auch klar, dass es davon eben gerade dimV*dimW Matrizen gibt.
' 3. Jede einzelne Abbildung kann über die Angabe der Funktionswerte definiert werden, klar. Aber du willst ja nicht die einzelnen Abbildungen betrachten, sondern die Menge aller linearen Abbildungen. Stell es dir so vor :
Ich habe die Basen {a,b,c} und {A, B, C}. Dann habe ich z. B. als lineare Abbildungen die Fortsetzungen von
f(a) = A, f(b) = A, f(c) = A
f(a) = A, f(b) = A, f(c) = B
f(a) = A, f(b) = B, f(c) = A
f(a) = A, f(b) = B, f(c) = B
f(a) = B, f(b) = A, f(c) = A
f(a) = B, f(b) = A, f(c) = B
f(a) = B, f(b) = B, f(c) = A
f(1) = B, f(2) = B, f(3) = B
usw. usw.
Das sind deutlich mehr als 3.
Außerdem hängt die Dimension natürlich auch von der Dimension der Definitionsmenge ab - nach deiner Logik wären dim Hom(V, W) und dim Hom(V', W) ja immer gleich, egal, wie groß V und V' sind.
also ein Vektor aus V
In der Vorlesung hatten wir, dass die Zeilenvektoren in K^1xn sind und K^1xn isomorph zu K^n sind. Wieso sind die Zeilenvektoren nun auch in K^n?
Weil man das identifizieren kann, steht da doch K^1xn ist isomorph zu K^n.
Was heißt identifzieren, ich dachte die Struktur und die Dimension von isomorphen vektorraäumen sind nur gleich, wieso ist nun auch die Basis des einen Raums gleich der des isomorphen Raums?
Oder meinst du damit, dass man die Basis von K^n identifizieren kann als f(a_i), mit f als Abbildung von K^1×n -> K^n und a_i Basis von K^1×n?
Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Das hat mir sehr geholfen.
Die Formulierung ist komplett unklar. Kannst du da mal die Originalformulierung reinstellen?
Es gilt, für V Vektorraum mit Dimension n und W Vektorraum mit Dimension m:
dim Hom(V,W)=n*m.
Ich stelle mir noch die Frage, wie die Herleitung der Dimension n*m von K^nxm ist. Was das mit den Zeilenvektoren (die spaltenvektoren sind ja dir Basen des Bildes, nachvollziehbar) zu tun hat, da ja die Dimension ein Faktor ist.
Ich habe dir doch eine Basis mit n*m Elementen vorgestellt. Was brauchst du noch mehr?
Danke, ich weiß, die Frage hatte sich erledigt (sorry).
Ach und nochmal zu 1: Jeder Zeilenvektor ist ein Vektor aus V. (Es gibt dim V Spaltenvektoren, also ist jeder Zeilenvektor dim V Einträge lang, also ein Vektor aus V). Die Zeilenvektoren bilden also eine Menge von Vektoren aus V. Jede beliebige Menge von Vektoren aus V erzeugt einen UVR.