Frage von minticious, 18

Was sagt mir der Rang einer Matrix über lineare Un-/Abhängigkeit aus?

Hallo! :)

ich habe nun viel dazu im Internet recherchiert, trotzdem ist mir einiges unklar.

Mal angenommen ich habe folgende Matrix (ohne Klammern):

-2 1 1

6 -4 -9

-4 4 14

Nun forme ich das mit dem Gauß-Verfahren um und erhalte:

-2 1 1

0 -1 -6

0 0 0

Also ist der Rang dieser Matrix = 2. Somit beträgt die Anzahl der unabhängigen Vektoren 2. (muss vor der 2 noch ein min. oder ein max. stehen?) Aber welche beiden Vektoren sind das denn? Und muss ich hierfür auf Zeilen- oder Spaltenvektoren achten, oder ist das egal?

Und: Ist es richtig, dass ich den 3. Zeilenvektor, also (-4 | 4 | 14) nun als Linearkombination aus den ersten beiden Zeilenvektoren darstellen kann, weil eben dort die Nullzeile entstanden ist? Also: Zeilenvektor 3 = x * Zeilenvektor 1 + y * Zeilenvektor 2?

Falls ihr euch mit meiner Frage befasst: Vielen Dank für die Mühe! :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Alles richtig.

Die Anzahl der unabhängigen Zeilenvektoren ist genau 2 - sowohl mindestens 2 als auch höchstens 2.

Bei quadratischen Matrizen ist es egal, ob man Zeilen oder Spalten betrachtet. Nichtquadratische Matrizen kann man mit Nullen zu quadratischen Matrizen auffüllen, ohne dass der Rang sich ändert, also sind Zeilen und Spalten auch hier egal.

Und deine letzte Überlegung ist auch völlig richtig..

Antwort
von iokii, 11

Um die Nullzeile zu erhalten, hast du den dritten Vektor sogar schon als linearkombination der anderen Beiden dargestellt.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community