Basis Ergänzung zu C^4?
Wenn man die Menge M ( bestehend aus zwei lin. unabhängige Vektoren v1,v2) gegeben hat:
Und ich soll diese zu einer Basis des C^4 ergänzen, brauche also noch 2 weitere Basisvektoren.
Ich habe jetzt kurz überlegt, ob man auch einen Vektor wie:
als Linearkombination von v1 und v2 darstellen kann, aber wenn ich mich da nicht stark irre, geht das nicht. Daher habe ich einfach die Menge ergänzt mit e2 und e4. Die Determ. von der Matrix aus v1,v2,e2,e4 ist dann =1 =/= 0, also lin. unabhängig.
Wäre das eine valide Ergänzung zu einer Basis?
Müsste man um die zwei Vektoren rechnerisch zu erhalten dies über Gauß machen? Also v1,v2,v3,v4 als Spaltenvektoren der Matrix schreiben und dann auf Zeilen-Stufen-Form bestimmen?
2 Antworten
Ja, das klappt. Die Determinante verschwindet nicht (ist aber -1, nicht 1, aber das tut hier nichts zur Sache), damit sind die Spaltenvektoren linear unabhängig, also das Erzeugnis ein vierdimensionaler Unterraum des C^4 - also der C^4 selbst.
Bei der Basiswahl hat man tatsächlich sehr viel Freiheit. Selbst wenn man sich blind vier Vektoren aussucht, ist die Chance groß, dass sie den C^4 aufspannen (soll heißen: dass man tatsächlich linear abhängige Vektoren erwischt, ist eher unwahrscheinlich, weil es eben so viele Freiheiten gibt).
Müsste man um die zwei Vektoren rechnerisch zu erhalten dies über Gauß machen?
Wofür "rechnerisch erhalten"? Du hast dir zwei Vektoren ausgesucht und bewiesen, dass sie mit den zwei gegebenen eine Basis des C^4 bilden. Mathematisch ist der Fall damit geklärt. Für den Beweis einer Aussage ist, was die Korrektheit des Beweises anbelangt, die Angabe eines konstruktiven Lösungswegs nicht notwendig.
Das machst du völlig richtig. Stichwort ist Basisergänzungssatz, d. h. wenn du auf der einen Seite eine Menge unabhängiger Vektoren (hier als v1 und v3) hast und auf der anderen Seite eine endliche Basis (hier e1, e2, e3, e4), dann kannst du hier immer eine Basis bekommen, indem du aus der Basis Vektoren hinzunimmst. Musst halt nur aufpassen, welche du nimmst. Hier wäre es z. B. so, dass du nicht e1 und e2 nehmen kannst oder e3 und e4, aber jede andere Kombi geht. Und der Test mit der Determinante ist genau richtig.