Basis in R4
Hallo Zusammen,
zur Aufgabe:
Sind die Vektoren v1=(1 1 1 1) v2=(1 0 1 0) v3=(0 0 1 1 ) und v4 = (1 0 0 0)
linear unabhängig und bilden eine Basis in R4?
Ich bitte um eure Hilfe! Danke!
5 Antworten
Ja... Schnapp dir ne Linearkombination der Vektoren
a * v1 + b * v2 + c * v3 + d * v4 = 0. Über die Gleichung der zweiten Komponenten folgt dann:
a = 0.
Dann gilt wegen der Gleichung der vierten Komponenten:
c = 0.
Wegen den dritten Komponenten gilt dann sofort b = 0 und somit auch d = 0.
Alle Koeffizienten müssen unbedingt 0 sein, also sind die Vektoren linear unabhängig...
4 linear unabhängige Vektoren im R4 bilden dort automatisch eine Basis...
Sehen unabhängig aus, und vier linear unabhängige Vektoren eines vierdimensionalen Vektorraums bilden immer eine Basis.
Weißt du, wie man die lineare Unabhängigkeit beweist?
Oder hast du in der Prüfung ebenfalls Zugang zum Internet? ;o)
Na, dann bist du ja im grünen Bereich. :o) Mich wundert nur, dass für mich alle typischen Einheitsvektoren als vierter Vektor gepasst hätten. Bin immer noch zu faul, mal gesittet eine Dreiecksform daraus zu machen...
Hah, jetzt hab ichs doch gemacht, im Kopf: Wenn man v1 von v3 subtrahiert, hat v1 v2 v3' v4 eine Dreiecksform, also linear unabhängig! :o)
Rein optisch sieht es so aus, als ob durch keine Linearkombination von je 3 Vektoren der vierte hergestellt werden könnte. Das sieht man so. Verwirrung stiftet die redundante Bezeichnung "und bilden eine Basis in R4". Linear unabhängige Vektoren, wobei kein Nullvektor vorkommt, tun dies regelmässig. Wer will, muss sie halt noch auf die "Länge" 1 normieren.
ja sind linear unabhängig also dürften sie auch eine basis bilden
Dürften nicht, sondern müssen!
Wenn du n unabhängige Vektoren hast, bilden die zwangläufig eine Basis für R^n; solange nicht einer davon ein Nullvektor ist.
Bei a * v1+b * v2+c * v3+d * v4=0, darf die einzige Lösung sein a=0, b=0, c=0, d=0. Dann sind alle linear unabhängig und bilden eine Basis.
solange nicht einer davon ein Nullvektor ist.
Wenn der Nullvektor 0 = v drin liegt, sind die Vektoren doch ohnehin autmatisch linear abhängig. Dann ist nämlich a * v = 0 für jedes beliebige a, also gibt es eine nichttriviale Linearkombination der 0... Ansonsten hast du natürlich recht.
Da ich viel zu faul zum Rechnen bin, ließ ich den Gauß-Algorithmus in >http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm auf ein Matrix mit den Zeilen v1,...v4 los.
Ergebnis: Verwandelt in die Einheitsmatrix -> lineare Unabhängigkeit bestätigt. (Zeitaufwand < 1 min).
Obere Dreiecksmatrix reicht schon, die Schritte zur Einheitsmatrix kann man sich dann sparen ;)
Najo, bei dem Beispiel ist es ja wirklich leicht. Aber eure Antworten sind doch Bullshit.
Nun bist du eine - mathematisch exakte - Definition von bullshit schuldig.
Ich hab genauer gesagt die Klausur vor 6 Stunden schon geschrieben und die Aufgabe war man sollte zu den drei ersten vektoren v1, v2, v3 einen weiteren vektor v4 finden der die Länge 1 hat und zudem eine Basis in R4 bildet... und es gab satte 5 punkte drauf und ich war nach 10 Sekunden überlegen bei dieser lösung mit 1,0,0,0... jetzt bin ich etwas skeptisch!