Lineare Unabhängigkeit am schnellsten nachweisen?

Wie lässt sich die lineare Unabhängigkeit von Vektoren am schnellsten rechnerisch nachweisen... also der Nullvektor darf ja nur als Linearkombination mit 0-Koordinaten erfolgen (triviale Darstellung des Nullvektors).. muss man immer den Gauß-Algorithmus anwenden oder gibt es eine schnellere Methode?

Answer 1

[Roderic]

Wenns nur um zwei Vektoren mit Dim max 3 geht, dann bilde das Vektorprodukt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

Kommt dabei der Nullvektor raus, sind die beiden Vektoren linear abhängig. Wenn nicht - dann sind sie linear unabhängig.

Comments

[charles2520]

heißt denn lineare Abhängigkeit immer gleiche Richtung?

[Roderic]

@charles2520

Bei zwei Vektoren - beide ungleich 0 - im R2 oder R3 - Ja.

[Roderic]

@Roderic

Genaugenommen: nur im R3. Im R2 ist das Kreuzprodukt nicht definiert.

Answer 2

[Roach5]

Einfachstes Beispiel ist in niedrigen Dimensionen, da kann man noch andere Tricks anwenden, um das schnell rauszukriegen.

1. Wenn die anzahl der Vektoren höher ist als die Dimension, sind die Vektoren immer linear abhängig (drei Vektoren im R² zum Beispiel).

2. Zwei Vektoren im R²: Punktprodukt bilden und durch das Produkt der Beträge teilen, wenn 1 oder -1 rauskommt hat man lineare Abhängigkeit, sonst nicht. Weil es nur zwei Dimensionen und nur zwei Vektoren sind, geht das ganze relativ schnell, es klappt aber auch in anderen Dimensionen, ist nur aufwändiger (und du kannst es natürlich nur machen, wenn der Raum in dem du arbeitest überhaupt ein Skalarprodukt besitzt).

3. Zwei Vektoren im R³: Kreuzprodukt, die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn AxB = 0 ist.

4. n Vektoren im R^n: Schreibe die Vektoren nebeneinander als nxn-Matrix und berechne die Determinante. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante 0 ist. Das ist die Verallgemeinerung von 3.

5. Es gibt noch ein paar andere Tricks, aber die Funktionieren nicht immer, fast alle anderen Fälle kannst du einfach per Gleichungssystem nachrechnen.

LG

Answer 3

[stekum]

Rechnerisch mühsamer als mit dem Kreuzprodukt geht es mit dem Skalarprodukt:

Lin. abh. wenn ā • b̄ = |ā| • |b̄|

Answer 4

[Peterxkcd]

Kommt drauf an, ob Du das in der Schule oder im Studium machen willst. Als Student stehen Dir viel mehr und einfachere Möglichkeiten zur Verfügung als in der Schule.

Studium: Gauß-Algorithmus, einfacher gehts wohl nicht.