Frage von IIZI9I5II, 55

Affiner Unterraum - Verständnisfrage?

Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum , wenn es einen Vektor v aus V und einen Untervektorraum Ua von V gibt, so dass

A= v + Ua = ( u + v/ u ist element von Ua)

Wenn ich mir die Definition angucke, geht hervor, dass jeder Untervektorraum auch ein affiner Unterraum ist. Wenn in der Augabe steht, welche der folgenden Mengen sind Vektorunteräume und welche affine Unteräume, kann ich doch schreiben dass jede Menge ein affiner Unterraum ist. Bloß soll ich darauf achten, ob der Nullvektor enthalten ist. Also soll ich bei der Aufgabe im Grunde nur prüfen, ob es ein Untervektorraum ist. Wenn nein, ist es auch kein affiner Unterraum, da doch für den affinen Unterraum doch die gleichen "Regeln" gelten?

Antwort
von eddiefox, 12

Hi,

Wenn ich mir die Definition angucke, geht hervor, dass jeder Untervektorraum auch ein affiner Unterraum ist.


Das ist richtig. In dem Fall ist v der Nullvektor.

Wenn in der Augabe steht, welche der folgenden Mengen sind
Vektorunteräume und welche affine Unteräume, kann ich doch schreiben
dass jede Menge ein affiner Unterraum ist.

Das ist nicht richtig.

Wenn ein affiner Raum A nicht nur aus einem Punkt besteht (d.h. der ihm unterliegende Vektorraum Uₐ ist nicht der Nullraum, also mindestens eindimensional), dann gibt es einen Vektor v und einen Untervektorraum Uₐ von V, so dass jedes x∈A eine Darstellung x = v+u, u∈Uₐ besitzt.

D.h. man kann A durchlaufen, indem man aus A einen Punkt x wählt undauf ihn alle Vektoren des ihm unterliegenden Unterraums Uₐ dazuaddiert, (translatiert, wirken lässt...)

Das Problem, das bei Mengen M auftreten kann, ist folgendes:

es mag für manche m∈M ein v∈V und ein u eines Untervektorraums U von V geben, so dass m = v+u gilt. Wenn aber u den gesamten Untervektorraum U durchläuft, dann darf nicht geschehen, dass m aus M herausläuft.

Das muss überprüft werden.

Nehmen wir z.B. die Punkte der Kreisscheibe K mit Mittelpunkt (0;0), d.h. K = {P ∈ ℝ² | ||OP|| ≤1 } (O sei der Koordinatenursprung des ℝ²)

Wir können von einem Punkt P ∈ K zu einem anderen Punkt Q ∈ K gelangen, wenn wir zu P den Vektor v = vec(PQ) addieren (bzw. die Translation Tv wirken lassen, so dass Tv(P) = Q gilt.

Die Menge span { vec(PQ) } ist ein eindimensionaler Untervektorraum des ℝ².
Mit v ∈ span { vec(PQ) } gehört aber für jedes λ∈ℝ  auch λv zu span { vec(PQ) }.

Umgekehrt aber gehört nicht jedes P+λv noch zu K, denn wird λ gross  genug gewählt,  dann wird ||P+λv|| > 1, d.h. P+λv läuft aus der Kreisscheibe K heraus.
K ist also kein affiner (Unter)raum.

(Man hätte anstatt der Kreisscheibe auch ein Segment der Länge 1 als Beispiel nehmen können)

Bei Mengen M, die auf die Eigenschaft des Untervektorraums
überprüft werden sollen, muss der Nullvektor dazugehören und zu jedem Vektor v aus M muss der inverse Vektor -v (Vektor mit entegengesetzter Richtung) auch zu M gehören, so dass v+(-v) der Nullvektor ist.
Das ist nicht immer erfullt.

Gruß

Antwort
von iokii, 37

Jeder Untervektorraum ist auch ein Affiner Untervektorraum.

Kommentar von IIZI9I5II ,

hab ich doch geschrieben.

wenn bsp. eine menge kein Untervektorraum ist, dann ist es auch kein affiner Unterraum weil das Ua fehlt. richtig?

Kommentar von iokii ,

Nein, es gibt Affiner Unterräume, die keine Vektorräume sind, zum Beispeil {(x,2)| x ist eine Reele Zahl] ist ein Affiner Untervektorraum aber kein Untervektorraum von R^2.

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