Frage von BatmanZer, 113

Ist die Ableitung von da/dt gleich d^2a/dt^2?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FuHuFu, 23

Nein ist sie nicht. Der Operator d/dt beschreibt die erste Ableitung der Operator d^2/dt^2 beschreibt die 2. Ableitung

Nehmen wir als Beispiel die gleichförmig beschleunigte Bewegung (d.h. A ist konstant). Dafür gilt die Formel

s = 1/2  a  t^2

Dann ist die Geschwindigkeit 

v = ds/dt = d/dt  ( 1/2 a t^2) = 1/2 a d/dt (t^2) = 1/2 a 2t = a t

Und die Beschleunigung

a = d^2 s/dt^2 = dv/dt = d/dt (a t) = a d/dt (t) = a 1 = a

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 38

Eher nicht. 

In dem Zusammenhang sieht a wie eine Konstante aus.
Es gilt d(at)/dt = a
Bei da/dt ist ein Zusammenhang von a und t nicht erkennbar, daher
da/dt = 1
wenn es weiter keine Informationen gibt.

Die Differentialschreibweise einer zweiten Ableitung wäre auch anders, z.B. bei x²:

dx²/dx  = 2x         1. Ableitung      d(ax²)/dx   = 2ax
d²x/dx² = 2           2. Ableitung     d²(ax²)/dx² = 2a

Auch hier wäre a eine Konstante.
Wenn man Ableitungen in einer Zeile schreiben möchte, muss man sich an einige Konventionen halten.
Und auch hier:
lieber ein Paar Klammern mehr als zu wenig.

Kommentar von SlowPhil ,

Natürlich könnte a eine Konstante sein, da BatmanZer nicht ausdrücklich a(t) geschrieben hat, und nur dann gälte

d(a·t)/dt = a·dt/dt = a.

Bei da/dt ist ein Zusammenhang von a und t nicht erkennbar, daher

da/dt = 1

Da liegst Du wirklich falsch. Wenn a wirklich konstant wäre, dann wäre

da/dt = 0.

Und dies gilt auch nicht, wenn es keine weiteren Informationen gibt - dann muss man da/dt stehen lassen, weil man ja nicht weiß, ob da doch noch etwas von 0 verschiedenes steht  - sondern wenn es die Information gibt, dass a definitiv konstant ist.

Kommentar von Volens ,

Richtig. Da habe ich mich vertippt, wie sich aus dem weiteren Kontext ableiten lässt.

da/dx = 0          egal ob x, t oder Otto

Danke!

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 30

Ja. Du kannst Dir das klar machen, indem Du

(1.1) (d/dt)

als Operator betrachtest, der alles, was rechts von ihm steht, nach t differenziert, also

(1.2) da/dt = (d/dt)·a = ȧ.

Somit ist

(2) d²a/dt² = (d²/dt²)·a = (d/dt)·(d/dt)·a = (d/dt)(da/dt) = dȧ/dt= ä.

Das »d« ist in diesem Zusammenhang ebenfalls ein Operator und darf auf keinen Fall wie eine ganz gewöhnliche Zahl behandelt werden.

Das »d« allein gehört insbesondere nicht in einen Nenner oder unter eine Wurzel, weil das keinen Sinn ergibt.

---

Dies war eine der großen Schwierigkeiten bei der Suche nach einer Lorentz-invarianten »Wellen«-Gleichung 1. Ordnung auf der Suche nach der Formulierung einer Quantentheorie, die mit der Speziellen Relativitätstheorie kompatibel ist. Das Problem wurde 1928 von Paul Dirac gelöst, indem er das »Operator unter Wurzel«- Problem geschickt umging.

Kommentar von einfachsoe ,

Zu deinem Absatz: Kennst du gute Quellen um sich da einzulesen? Dieses Problem sagt mir als Physikstudent nichts, was mir etwas peinlich ist 😅

Kommentar von SlowPhil ,

Das Stichwort heißt »Dirac-Gleichung«. Für' s Erste kann man die deutschsprachige oder auch die englischsprachige Wikipedia zu diesem Thema lesen.

Ich kann es aber auch einfach erst einmal etwas dazu sagen:

  1. Die Newton'sche Energie-Impuls-Beziehung [hier mit Ruheenergie, was nicht üblich ist] lautet für einen kraftfreien Körper der Masse m

    E = [mc² +] p²/2m.

  2. Auf dieser Grundlage formulierte Erwin Schrödinger 1926 eine Wellengleichung für die Wellenfunktion ψ(|x›,t) eines freien, spinlosen Teilchens der Masse m:

    (iħ∂/∂t) ψ(|x›,t) = (–ħ²∇²/2m) ψ(|x›,t)

    Dabei ist ∂…/∂t die partielle Ableitung nach t und ∇ der Nabla-Operator, der ein skalares Feld in jede der drei Hauptrichtungen differenziert und so den Gradienten herauskitzelt, einen Vektor, der in die Richtung des stärksten Anstiegs des Feldes zeigt und diesen als Betrag hat.

    Allgemein werden in der Quantentheorie physikalische Größen durch Operatoren dargestellt, die Zahlen sein können, aber eben wie hier auch Differentialoperatoren. 
  3. Die Relativistische Energie-Impuls-Beziehung (aus der die Newton'sche als Näherung hervorgeht) lautet in ausquadrierter Form

    E² = m²c⁴ + c²p²       ⇔    m²c² = E²/c² – p²

    wobei Letzteres die Betragsgleichung für den Viererimpuls eines Körpers ist. In Wurzelform ist das

    E = √{m²c⁴ + c²p²}    ⇔    mc² = √{E² – c²p²}

  4. Auf dieser Grundlage formulierten Oskar Klein und Walter Gordon 1926 die Gleichung


    m²c²ψ(x^µ) = ħ²(–∂²/∂t² + ∇²)ψ(x^µ),


    die zweiter Ordnung ist und Lösungen zu negativen Frequenzen hat.
    Die wurden als negative Energien interpretiert und für unphysikalisch gehalten, bis sich herausstellte, dass die Energie trotzdem positiv ist und die Teilchen mit den negativen Frequenzen als Antiteilchen interpretiert werden können.
  5. Für eine Gleichung 1. Ordnung konnte man natürlich nicht einfach

    m·c·ψ(x^µ) = √{ħ²(–∂²/∂t² + ∇²)}ψ(x^µ)

    schreiben. Operatoren unter Wurzeln ergeben keinen Sinn.
    Dies war das Problem, das dann 1928 Dirac löste.
Kommentar von einfachsoe ,

Wow, danke. Lese mir auf jeden Fall noch was dazu in Wikipedia durch

Antwort
von einfachsoe, 56

Die Zeitliche Ableitung, ja.

Antwort
von Australia23, 47

Genau:

da/dt = 1. Ableitung von a(t) nach t

d^2 a / d t^2 = d (da/dt) / dt = 2. Ableitung von a(t) nach t

Das ^2 nach dem d unter dem Bruchstrich lässt man weg...

Kommentar von SlowPhil ,

da/dt=1

gilt nur dann, wenn a(t) = t + const. ist, also eine lineare Funktion mit der Steigung 1.

Außerdem ist mit »dt²« im Nenner auch nicht »d t²« in Sinne von »d·t²« gemeint, sondern (dt)², was nicht (!) zu d²t² aufzulösen ist, denn d ist keine Zahl, sondern bedeutet eine kleine (idealisierterweise infinitesimale) Differenz.

Kommentar von Australia23 ,

da/dt=1

Das sollte heissen: da/dt = die erste (1.) Ableitung von a(t) nach t

Außerdem ist mit »dt²« im Nenner (...) 

Das ist mir durchaus bekannt. Ich ging hier (vielleicht fälschlicherweise) davon aus, dass es dem Fragesteller auch bekannt ist, daher machte ich keine näheren Angaben dazu.

Zudem rechnete ich hier gar nicht mit den "Brüchen" sondern versuchte bloss zu erklären, woher die Notation "d^2 a / d t^2" kommt.

Und "d^2 a / d t^2" steht ja für "d (da/dt) / dt" -> a(t) zwei mal nach t abgeleitet.

Kommentar von Australia23 ,

Zudem, sehe ich gerade, hast du doch genau dasselbe nur etwas ausführlicher erklärt:

(2) d²a/dt² = (d²/dt²)·a = (d/dt)·(d/dt)·a = (d/dt)(da/dt) = dȧ/dt= ä.

"(d/dt)(da/dt)" kann man doch genau so gut als "d (da/dt) / dt" schreiben.

"d (da/dt) / dt" finde ich persönlich sogar anschaulicher, da man hier "da/dt" nach t ableitet, genau wie man in "df/dt" die Funktion f(t) nach t ableitet...

Antwort
von Rinkerchen, 47

da/dt = da/d * t = a*t

f´(x) = 1

Vertrau mir da nicht, war immer ne besonders düstere Leuchte in Mathe, aber habs eben auch im Ableitungsrechner eingegeben. Du leitest hier nen Faktor ab, nicht nach der Variablen x. Deswegen wird´s 1. Außer du leitest nach a bzw. t ab.

Kommentar von Kaenguruh ,

Auch wenn Du vielleicht nie eine große Leuchte warst, hier kann man Dir vertrauen. Deine Antwort ist absolut richtig. Also, nicht so bescheiden! 

Kommentar von SlowPhil ,

Stimmt doch gar nicht! Man kann nicht

da/dt = da/d·t

setzen. Das »d« steht nicht für eine Zahl, sondern gehört im Nenner zum t.

Das außerdem in jedem Fall im Nenner steht, weshalb, wenn d eine Zahl wäre, ein Kürzen durch d

a/t

und nicht

a·t

ergäbe.

Kommentar von SlowPhil ,

Nein, er leitet nach der Variablen t ab, was in der Physik meist die Zeit ist. Die Funktion ist a(t), und der Ausdruck

da/dt = da(t)/dt

steht für

lim_[Δt→0] Δa(t)/Δt,

den Grenzwert des Differenzenquotienten Δa(t)/Δt.

Wenn der existiert.

Dabei ist d keine Zahl, durch die man kürzen könnte, und selbst wenn dem so wäre, gehörte das t zum Nenner!

Kommentar von Rinkerchen ,

Mir kam der Gedanke, dass es sich hier um die Ableitung nach der Zeit handeln kann erst danach :) Hab überhaupt nicht an Physik gedacht, als ich das gesehen habe, auch wenns recht offensichtlich ist. Und ja, ich hab beim Umstellen (mal wieder) nen Fehler eingebaut :) Hab da auf das vertraut, was im Ableitungsrechner einer Website stand. Danke für´s Korrigieren :)

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