Integralrechnung, wie integrieren?
Ich habe eine Frage zu Integralrechnung. Wenn man integriert, wonach integriert man, wie geht man da vor, wie bestimmt man, wonach man integriert? Die Frage ist mir in den Kopf gekommen, als ich folgende Aufgabe sah:
Warum wird hier beispielsweise nach V abgeleitet und nicht nach r oder p(r) oder nach V und r…
Das ist eine Aufgabe zu Schwerpunkt von starrem Körper.
3 Antworten
Was die machen ist das infinitesimale massenelemenent dm zu ersetzen. Also bekanntlich gilt ja m=p*V, und dm=dp*V. V ist das konstante Volumen des Körpers. Du schaust dir im Prinzip die infinitesmiale Masse des Körpers an und die kann sich ja nur von der massendichte dp ändern. Also wenn du zum Beispiel ein Würfel als Körper hast. Dann hat der Würfel ja eine Masse. Und diese Masse besteht aus kleinen Klumpen. Du schaust dir halt einen kleinen Klumpen dm an und der hängt ja dann logischerweise von dp ab. Die ersetzen das im integral halt.
Der Schwerpunkt ist ja definiert über die Summe der einzelnen Massen/Klumpen abhängig von ihrem Ort. Das kannst du als integral darstellen..
Beim Integrieren geht es im Grunde darum, die Summe einer unendlichen Menge von unendlich kleinen Teilen zu finden, die zusammen ein Ganzes bilden.
In der Aufgabe, die du gesehen hast, wo es um den Schwerpunkt eines starren Körpers geht, ist die Idee, alle winzigen Massenelemente des Körpers zusammenzuzählen, um ihren durchschnittlichen Ort zu finden. Man integriert nach dm, weil man die Masse über das ganze Volumen verteilt betrachtet. Die Funktion ρ(r) gibt die Dichte an jedem Punkt r an, also wie viel Masse sich in einem kleinen Raum um diesen Punkt herum befindet.
Die Gleichung sagt aus, dass ein Massenelement dm gleich der Dichte ρ an einem Punkt mal einem unendlich kleinen Volumenelement dV ist. Wenn du also den Schwerpunkt finden möchtest, summierst du (integrierst du) alle Produkte aus der Position r und der Masse dm über das gesamte Volumen. Deshalb ersetzt du dm durch ρ(r) dV, um nach dem Volumen V zu integrieren, weil das Volumen das ist, was du tatsächlich 'summiert', um die Gesamtmasse zu bekommen.
Man könnte theoretisch auch nach r oder ρ(r) integrieren, aber das wäre in diesem Fall nicht sinnvoll, da r und ρ(r) keine direkten Maße für die Menge der Materie sind – das Volumen schon.
Integralrechnung ist wie das Zusammensetzen eines Puzzles: Du fügst alle Teile zusammen, um das Gesamtbild zu sehen. In diesem Fall ist das 'Bild' der Schwerpunkt des Körpers.
wo siehst du eine Ableitung nach V?