Ich weiss nicht wie man mit Hilfe des Energie erhaltungsgesetz dieses Problem ausrechnet?
Marina springt vom 3 Meter hohem Sprungbrett ins Wasser. Im Augenblick des Absprunges hat sie durch Wippen eine Geschwindigkeit von 4,5m/s senkrecht nach oben erhalten. Sie springt mit den Füssen voraus. Mit welcher Geschwindigkeit klatschen die Fusssohlen auf die Wasseroberfläche?
5 Antworten
Zu Beginn hat sie eine gewisse kinetische Energie (aufgrund ihrer Geschwindigkeit von 4,5 m/s) und eine gewisse potentielle Lageenergie (aufgrund der Höhe von 3 m gegenüber der Wasseroberfläche).
Beim Aufkommen auf die Wasseroberfläche hat sie eine gewisse kinetische Energie (aufgrund des in der Aufgabenstellung gesuchten Geschwindigkeitsbetrags). [Im Bezug zur Wasseroberfläche hat sie zu dem Zeitpunkt keine potentielle Lageenergie mehr, da sie sich ja bereits auf Höhe der Wasserobefläche befindet.]
Wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt, wird auch nichts von der Energie in Wärme umgewandelt, sondern die Energie bleibt in Form von kinetischer Energie und potentieller Lageenergie.
Es gilt Energieerhaltung. Im konkreten Fall also:
Damit erhälst du dann eine Gleichung in Abhängigkeit der gesuchten Auftreffgeschwindigkeit und der Masse von Marina. Die Gleichung kannst du dann nach der gesuchten Geschwindigkeit auflösen (wobei die Masse von Marina sich wegkürzt also am Ende nicht relevant ist).
Marina hat beim verlassen des Brettes eine kinetische Energie. Durch die Gravitation wird die aber nach einer bestimmten Strecke null sein. Die kinetische Energie wird sich also in potentielle Energie (Höhenenergie) umgewandelt haben. Mathematisch heißt das, dass du die Formeln gleichsetzen musst.
Dich interessiert wie hoch sie dann ist, also löse die Gleichung nach der Höhe auf.
Danach das gleiche Spiel nur andersherum: Sie hat eine bestimmte potentielle Energie, die sich in kinetische Energie umwandelt. Beide Formeln wieder gleichsetzen und nach der Geschwindigkeit auflösen. Die Höhe hast du ja jetzt und kannst es ausrechnen.
Den Rest kannst du selber. Ich komme auf ungefähr 4,8 m/s beim Aufprall. Wenn du noch Fragen hast, schreib einfach.
Hallo Yakin123abc,
es ist immer angebracht, Formelzeichen zu verwenden, z.B. z für die Höhe über der Wasseroberfläche mit z=h für die Höhe des Sprungbretts und v für das Tempo (Betrag der Geschwindigkeit v›, einer Größe mit Richtung) beim Absprung.*)
Mit v(z) ist das Tempo gemeint, was Marina in der Höhe z hat. Während v(h)=4,5m/s bekannt ist, wird v(0) gesucht.
Was konstant bleibt, ist die Summe aus kinetischer und gravitations-potentieller Energie. Was Letztere betrifft, ist allein die potentielle Energiedifferenz relevant.
Die ist gleich der Arbeit, die man verrichten muss, um den Körper gegen die Schwerkraft um h anzuheben.
Da die Höhe verschwindend klein ist im Vergleich zum Erdradius, ist die Beschleunigung in vertikaler Richtung –g und damit die Kraft –m·g konstant.
Die zum Anheben auf z erforderliche Arbeit ist
(1) ΔE[pot](h) = W[hub] = m·g·z,
da die Verschiebungsstrecke und die aufzuwendende Kraft parallel sind.
Die kinetische Energie hängt nur vom Tempo ab und lässt sich mit der Idee einer gleichförmigen Beschleunigung a› aus dem Stand ab t=0 motivieren.
Die Richtung bleibt dabei konstant und muss nicht berücksichtigt werden. Das Tempo wächst dabei linear,
(2.1) v = a·t,
und in einem t-v-Diagramm ist die zurückgelegte Strecke s die Fläche zwischen dem v(t)-Graphen; sie ist ein Dreieck der Grundseite t und Höhe a·t und hat deshalb den Inhalt
(2.2) s = ½·a·t²,
was mit F=m·a und (2.1) die Beschleunigungsarbeit
(2.3) E[kin](v) = W[acc] = ½·m·a²·t² = ½·m·v²
ergibt, die gleich der kinetischen Energie ist. Es muss nun
(3.1) ΔE[pot](h) + E[kin](h) = ΔE[pot](0) + E[kin](0),
also
(3.2) m·g·h + ½·m·v²(h) = ½·m·v²(0).
Da m überall steht, können wir die ganze Gleichung durch m teilen und zudem ganz mit 2 multiplizieren:
(3.3) 2·g·h + v²(h) = v²(0)
Da in (3.3) alles positiv ist, können wir die Wurzel ziehen und haben die Gleichung schon aufgelöst:
(3.4) v(0) = √{2·g·h + v²(h)}
Für g bietet sich der Standardwert 9,81m/s² oder die grobe Näherung 10m/s² an. Die restlichen Zahlen der rechten Seite sind bekannt oder lassen sich leicht ausrechnen.
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*) Wobei wir hoffentlich davon ausgehen können, dass das Sprungbrett nicht noch etwas nach oben federt, man also mit der angegebenen Höhe weiterarbeiten kann.
Für 2gh habe ich im Kopf 58,86m²/s² und für v²(h) habe ich 20,25m²/s² heraus. Damit ist
v²(0) = √{79,11}m/s ≈ 8,9m/s
(etwas weniger, denn 8,9²=79,21).
Also kann man die angegeben Höhe eben nicht benutzen, oder?
Wenn Energie wirklich erhalten ist und nicht verheizt wird, doch - ich dachte, die Frage sei durch andere Anwortgeber bereits geklärt.
Dass die Richtung der Geschwindigkeit belanglos ist, liegt am Charakter des Gravitationsfeldes als konservatives Kraftfeld.
Marina springt nach oben, wodurch sich die kinetische Energie in potentielle wandelt, bis eine neue Höhe h+Δh erreicht ist, ein Umkehrpunkt. Allerdings bietet die Mehrarbeit, Δh noch auszurechnen, keinen zusätzlichen Nutzen für die Aufgabe.
Wenn Marina von h+Δh auf h zurückgefallen ist, hat sich diese zusätzliche potentielle Energie wieder in kinetische umgewandelt und die Bewegungsrichtung umgekehrt. Genauer: Ihr vertikaler Anteil ist umgekehrt. Damit Marina das Sprungbrett verlassen kann, muss sie sich auch einen horizontalen Stubs geben, und diese Geschwindigkeitskomponente bleibt erhalten. Dadurch ergibt sich eine Wurfparabel.
daten die du brauchst
g = 9,81 m/s² oder für verreinfachungs gründen g ~ 10 m/s²
m = 3m
v0 = 4,5 m/s
diese 10 m/s² bedeuten nichts anderes als das sie 10 m/s² zunimmt und geschwindigkeit wenn sie fällt Ich mache es mir aber nun einfach und nehme die formel die schon umgestellt ist
( falls es dich interessiert v (t) = gt wir wollen v )
v (h ) = wurzel (2gh) - v0
oder für uns v (3) wurzel (2*10m/s² * 3m) - 4,5 m/s = 3,25 m/s
Marina ist nicht in drei Metern Höhe. Sie springt in drei Metern Höhe ab und fliegt dann mit 4,5 m/s nach oben.
Ein kleines m als Formelzeichen steht i.d.R. für Masse. s für Strecke oder h für Höhe ist eindeutiger.
ich habe die einheiten mal umgeformt weil ich sie so schöner find
Ich hab doch gar nichts zu den Einheiten geschrieben(?)
Ein kleines m als Formelzeichen steht i.d.R. für Masse. s für Strecke oder h für Höhe ist eindeutiger.
Ich meinte das hier mir ist im klaren das das gantze keine richtigen formelzeichen sind jedoch haben sie mir in die formel gepaßt aus diesem grund habe ich die formelzeichen umdefiniert.
Die Formel
v (h ) = wurzel (2gh) - v0
passt nicht. Woher hast du die?
Wenn man in einer Höhe h (im Bezug zur Endhöhe, wobei der Startpunkt höher liegt als der Endpunkt) mit einem Geschwindigkeitsbetrag v₀ startet, erhält man für die Endgeschwindigkeit v(h) die Gleichung ...
v(h) = √(v₀² + 2gh)
Begründung: Mit Energieerhaltung kann man die Gleichung ...
1/2 ⋅ m ⋅ v(h)² = 1/2 ⋅ m ⋅ v₀² + m ⋅ g ⋅ h
... aufstellen, die man nach v(h) auflösen kann, indem man durch 1/2 ⋅ m dividiert und dann die Wurzel zieht.
eine falsch abgeschriebene formel ups kann leider nicht mehr editieren
Beim Absprung "hat" Marina "zwei Energien": die Lageenergie aufgrund der 3 Meter Höhe und die Bewegungsenergie aufgrund der Geschwindigkeit.
Dass die Bewegungsenergie zunächst "nach oben" geht, ist irrelevant, da sie beim "vorbeifallen" dann mit der gleichen Geschwindigkeit nach unten fällt.
Beim Aufkommen auf dem Wasser haz sie dann nur noch Bewegungsenergie.
(Das gilt, wenn man die Wasserhöhe mit Höhe 0 annimmt. Für diese Berechnung ist das aber irrelevant, da es nur um Energiedifferenzen geht)
stell die Gleichung doch mal auf, dann kümmern wir uns um die Lösung.
In der Aufgabe steht doch, dass Marina das Sprungbrett mit 4,5 m/s nach oben verlässt. Also kann man die angegeben Höhe eben nicht benutzen, oder?
v(h) ist doch in die entgegengesetzte Richtung im Vergleich zu v(0). Also muss einer der Werte entweder negativ sein oder v(h) muss subtrahiert werden.