Holt Achilles die Schildkröte ein?
Achilles und die Schildkröte ist ein Paradoxon von Zenon von Elea (495 – 430 v. Chr.). Der schnellfüssige Achilles (bekannt ist auch die Achillesferse, wo er am meisten verwundbar ist) soll einen Wettlauf mit der Schildkröte machen. Da Achill zehnmal schneller ist, gewährt er der Schildkröte einen Vorsprung von 100 Meter.
Mit folgender Überlegung wollte Zenon zeigen, dass Achill die Schildkröte nie einholen wird:
Wenn Achill bei 100m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 10m weiter.
Wenn Achill bei 110m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 1m weiter.
Wenn Achill bei 111m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 0.1m weiter.
Wenn Achill bei 111.1m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 0.01m weiter.
... usw.
Wiki
4 Antworten
Hallo,
nach weiteren 100 m ist Achill 200 m weit gekommen, die Schildkröte aber nur
120 m. Achill hat einen Vorsprung von 80 m. Er muß sie also überholt haben.
Der Überholpunkt liegt bei 1000/9 m=111,11... m.
Herzliche Grüße,
Willy
Was sagte Achilles zu Zenon?
Seht geehrter Zenon, ich laufe nicht den Orten auf dem Wege nach - diese sind unbeweglich -, sondern der Schildkröte, das heißt der Abstand zwischen mir und der Schildkröte ist das entscheidende, dieser Abstand wird fortlaufend kleiner während des Rennens, so dass wir nur lange genug laufen müssen, bis es keinen mehr gibt: die Laufzeit entscheidet, ob ich sie einholen oder sogar überholen werde.
Nehmen wir an, dass ich bloß doppelt so schnell laufe - 10-mal schneller muss es gar nicht sein -, dann laufe ich doppelt so weit, wie die Schildkröte. Nun gib ich der Schildkröte eine Vorstrecke von 8 Fuß, was eine bestimmte Zeit dauert, in dieser Zeit würde ich doppelt so weit laufen, also 16 Fuß weit. Danach laufen wir zusammen so lange, bis die Schildkröte weitere 8 Fuß weit läuft, sie ist dann insgesamt 16 Fuß weit gelaufen, 8 Fuß allein und 8 Fuß mit mir, daraus folgt, dass ich sie eingeholt habe. Liefe ich 3-mal schneller, dann würde ich sie mit 8 Fuß überholt haben.
Zenon führt den Lösenden auf die „falsche Fährte“.
Daran ist eigentlich nichts Paradoxes.
Man fragt nach einer Zeit, redet dann aber von Entfernungn. Insbesondere werden die Entfernungsschritte immer kleiner, entsprechend die Zeitabstände immer kürzer. Man nähert sich damit asymptotisch dem Zeitpunkt an, wo der eine den anderen überholt. Da aber die Zeitschritte immer kleiner werden erreicht man ihn nie.
Wenn man belieibig kleine Zeitschritte mach und den nächsten Zeitschritt immer so klein wählt dass der Überholpunkt nicht erreicht wird, kann man natürlich beliebig viele Zeitschritte mahcne ohne dass der einen den anderen überholt. Daran ist nichts paradox. Eigentlich ist es ziemlich simpel.
Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:
1.Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen