Lösung für das Unabhängigkeitsparadoxon in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Hey Leute,
ich habe mal eine Frage. Gibt es jemanden, der mir beim dem Unabhängigkeitsparadoxon weiterhelfen kann? Kennt jemand die korrekte Lösung? Hier erst einmal die Aufgabe:
Herr Meier soll gegen seine Kollegen Herr Schmidt und Herrn Müller drei Tischtennismatches bestreiten. Er kann auswählen, ob er die Reihenfolge „Herr Schmidt - Herr Müller - Herr Schmidt oder „Herr Müller - Herr Schmidt - Herr Müller“ wählt, soll dabei aber zweimal hintereinander gewinnen. Herr Schmidt spielt stärker als Herr Müller. Soll Herr Meier die erste oder die zweite Reihenfolge wählen, um seine Chancen zu erhöhen?
Vielen Dank für alle Lösungsvorschläge!!!
Beste Grüße
2 Antworten
Zwei Siege hintereinander bedeutet, dass gegen den mittleren Gegner ein Sieg erzielt werden muss und für den anderen Gegner hat man zwei Chancen.
Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Gegner a und für den anderen b beträgt, ist insgesamt die Gewinnwahrscheinlichkeit 2ab - a²b bei zweimal gegen den Gegner a bzw 2ab - ab² bei zweimal gegen den Gegner b. Wenn jetzt a < b gilt und ab eine positive Zahl ist, ist auch a²b < ab² und somit 2ab - a²b > 2ab - ab². Wenn also die Gewinnwahrscheinlichkeit gegen den Gegner a kleiner ist, dann ist es günstiger zwei Chancen gegen diesen zu haben.
Das Paradoxon daran soll sein, dass man meint, dass es besser wäre zweimal gegen den schwächeren zu spielen. Da aber nicht nach zwei Gewinnen insgesamt, sondern nach zwei Gewinnen hintereinander gefragt ist, muss man es so sehen, dass es besser ist, mehrere Chancen gegen den stärkeren Gegner zu haben.
Rechnen wir es mal mit beispielwerten durch:
s = 0,40 m= 0,60 (Gewinnwarscheinlichkeit)
erste version.s m s
Da er zwei hintereinander gewinnen muss. Gibts durch den baum nur zwei Pfade:
win win oder lose win win.
also:
0,4 * 0,6 + 0,6 * 0,6 * 0,4 = 0,384
zweite version m s m
gleiches spiel wie oben. 2 pfade zum sieg.
0,6*0,4 + 0,4*0,4*0,6 = 0,336
Was bdeutet er sollte den ersteren pfad wählen.
Das unabhängikeits paradoxon kommt nach meiner ansicht hier ins spiel. Weil es endweder so wirkt als ob die reihenfolge egal ist. Oder weil das 2. Attraktiver wirkt weil man gegen den Stärkeren spieler nur einmal spielen müsste.