Schildkröte-Achilles-Paradoxon?
Ich verstehe nicht wie Achilles die Schildkröte nicht einholen kann obwohl er ja schneller ist. Gleichen sich Geschwindigkeit von Achilles und Abstand zwischen beiden stets aus?
9 Antworten
Die Zeiten, bis Achilles die vorige Position der Schildkröte erreicht, werden im selben Maßstab kleiner wie die Abstände zwischen diesen Punkten.
Wir setzen hier normalerweise voraus, dass wir Raum und Zeit in beliebig kleine Abstände einteilen können - was für diese Überlegung vom heutigen Standpunkt aus nicht das entscheidende Problem ist, selbst wenn es sich als physikalisch unmöglich herausstellen sollte. (Hierzu weiter unten noch eine Bemerkung.)
Wir habe eine räumliche und eine zeitliche "geometrische Reihe" - das ist eine Reihe, wo Größen addiert werden, bei denen die Folgegröße immer um einen bestimmten, gleich bleibenden Faktor kleiner (oder größer oder gleich) ist wie die vorangehende Größe (in diesem Fall kleiner). Eine solche geometrische Reihe mit Faktor zwischen 0 und 1 "konvergiert", d. h. die Werte streben gegen einen bestimmten "Grenzwert". (Auch dazu, dass wir hier zwei Reihen haben, weiter unten noch mehr.)
Da die Zeit konvergiert, holt Achilles die Schildkröte zu einer endlichen Zeit ein. Da auch die Strecke konvergiert, geschieht das nach einer endlichen Strecke. Das ist - wie nicht anders zu erwarten - genau der Zeitpunkt und genau der Raumpunkt, wo nach der Mittelstufenphysik Achilles die Schildkröte einholt.
Ab diesem Zeitpunkt kehrt sich die Betrachtung um - ab jetzt läuft Achilles der Schildkröte voraus, und bis die Schildkröte den Punkt erreicht hat, wo Achilles nach einer gewissen Zeit ist, ist Achilles noch weiter voraus. Auch jetzt haben wir geometrische Reihen, aber mit einem Faktor > 1, und eine solche Reihe "divergiert", d. h. es gibt jetzt keinen Zeitpunkt und keinen Raumpunkt mehr, wo die Schildkröte Achilles einholt (natürlich wieder wie zu erwarten).
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Zu den zwei Reihen (statt nur einer): Selbst der große Randall Munroe hat diesen Punkt übersehen und vergessen, dass hier ( https://www.xkcd.com/994/ ) die Adventskalendertürchen ebenfalls immer kleiner werden müssen.
Zur physikalischen (Un-)Möglichkeit: Manche Ausleger vermuten, Zenos Ziel sei es gewesen, mit dem Paradoxon als Gedankenexperiment nachzuweisen, dass sich Raum und Zeit eben nicht in beliebig kleine Teile zerlegen lassen.
Nach Zenons S-A-P (ich kürze es mal so ab) kann Achilles die Schildkröte nicht einholen, da bis er den Vorsprung der Schildkröte ja einholt die Schildkröte bereits ein Stück weiter voran gekommen ist, den Achilles daraus resultierenden (auch wenn nun kleineren ) Vorsprung müsste Achilles wieder einholen, bis er es aber schafft ist die Schildkröte bereits wieder ein Stück weiter gegangen, usw. Daher wird er diese nicht einholen oder gar überholen können. Immer ungeachtet jedem Geschwindigkeitsunterschied.
Ein Trugschluss denn ja, der schnellere würde den/das langsamere/n immer bei genügend Zeit einholen. Es sollte wahrscheinlich eine philiosophische Methaper sein um zu Zeigen das sich eine Einheit nicht immer in beliebig kleinerer Einheiten aufteilen liese, beruht jedoch auf falschen bzw. unvollständigen Annahmen.
Zum einem berücksichtigte er weder das auch eine unendliche folge an getrennten Ereignissen nicht auch eine endliche Summe haben kann und zum anderen folgt sein Schluss daraus das man den Strecken- und Zeitabschnitt den die Schildkröte zurücklegt unendlich unterteilen könne und berücksichtigte hier eben nicht das jedoch die Strecke nicht unendlich ist und somit die erforderliche Zeit die man bräuchte um sie hinter sich zu bringen es damit auch nicht ist.
Hallo Lilyatchy!
Der Witz an der Geschichte ist die Definition der beiden Geschwindigkeiten als voneinander abhängige Größen. Mit dieser Definition zerteilt man die Wegstrecke vom Start bis zum Einholen in unendlich viele Abschnitte, die natürlich immer kleiner werden. Und da die Unendlichkeit nicht erreicht werden kann, kann Achilles die Schildkröte auch niemals einholen.
Würde man einfach definieren, dass Achilles 10 mal schneller als die Schildkröte läuft, könnte man den Überholvorgang sehr einfach darstellen. Und dabei würde es sich um exakt dieselben Umstände handeln, nur um eine andere Betrachtungsweise.
Ein der ersten Überlegungen bei der Entwicklung der Chaos-Theorie beschäftigte sich mit einem ähnlichen Paradox, die Frage nämlich, wie lang die Küstenlinie Britanniens sei. Nimmt man eine Karte im Maßstab 1:5.000.000 ist diese Küstenlinie sehr viel kürzer, als wenn man sie nach einer Karte bestimmt mit einem Maßstab 1:5.000. Geht man in die Realität und wandert um jeden Felsen der Küste entlang, so wird die Linie noch länger. Betrachtet man jedes Sandkorn, jedes Molekül, jedes Atom usw. so geht die Länge dieser Linie irgendwann gegen unendlich.
Gruß Friedemann
Hallo Lilyatchy!
Als "Scheinparadox" kannst Du natürlich annähernd jedes Paradoxon bezeichnen. Der griechische Philosoph Zenon von Elea hat sich intensiv mit der Unendlichkeit, den Problemen der Vielheit und der Teilung beschäftigt. Und seine Paradoxa, aus denen er Argumente entwickelt, weisen auf die Schwierigkeiten hin, die Unendlichkeit mathematisch zu verwenden. Eigentlich paradox ist also die Formel oder die Funktion, die die Bewegung von Achilles und der Schildkröte so ins Verhältnis setzt, dass sie zu einer Teilung mit unendlich vielen Schritten führt.
Gruß Friedemann
Man betrachtet diejenigen Abschnitte, die mit dieser Überlegung erreicht werden können. Das sind alle, die vor dem Einholen liegen. Ob es hier hinter "unendlich" weitergehen kann, wird (bewusst?) nicht gefragt.
Dies ist eine sogenannte "Scheinlogik".
Bekannt ist das auch mit dem Igel und den Hasen..Logik ist,daß der Hase den Igel nicht einholen kann,was natürlich falsch ist.
Richtig ist: Der Abstand S zwischen Achillis uand Schildkröte wird durch die Geschwindigkeitsdifferenz aufgezerrt.
Achillis holt die Schildkröte in der Zeit t=S/(Va-Vs)
Va Geschwindigkeit Achillis
Vs Geschwindigkeit Schildkröte
In der Praxis holt Achilles die Schildkröte natürlich ein.
Aber in diesem Paradoxon geht es um den folgenden Gedanken:
Sobald Achilles dort angekommen ist, wo die Schildkröte vorher war, ist die Schildkröte ein ganz kleines Stück weiter. Und sobald Achilles dort angekommen ist, ist die Schildkröte wieder ein Stückchen weiter.
Alles liegt das Problem darin dass es Scheinparadox ist, weil man de nunendlich kleinen Abstand nicht vermessen kann?