Höhenfußpunkt - Vektorrechnung
Hallo!
Ich habe gerade Schwierigkeiten, was Vektorrechnungen angeht und bräuchte jemanden, der mich "mental" unterstützt :-)
Meine Überlegung:
z-Koordinante von H: Normalvektor-Form?
Volumen: Vektor Gh/3, wobei G= ABh/2
Winkel: mit Hilfe von cosinus und dem Normalvektor des Vektors MaC und MaS
Winkel von G und AS: cosinus von Seite AB und AS
Stimmen diese Überlegungen? Unten ist die vollständige Angabe.
Vielen Danke im Vorraus!
Folgendes ist gegeben:* Die Punkte A(5|1|1),B(−1|3|9) und C(−3|−1|5) sind Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit dem Höhenfußpunkt H(1|0|zH). Die Spitze S der Pyramide liegt in der Ebene: σ:3x+2y−z=−18 Berechne das Volumen dieser Pyramide, den Winkel, den die Fläche ABC und ABS einschließen, und den Winkel, den die Kante AS mit der Basisfläche einschließt.*
2 Antworten
A. Die Vektoren c = B -A und b = C - A (Differenzen der Ortsvektoren der Punkte) beschreiben zwei benachbarte Seiten der Grundfläche (nicht A oder B selbst). Der Vektor n = b ✖ c (Kreuzprodukt) ist lotrecht zu ABC.
Die Koordinatenform der Ebene σ lässt sich als (Skalarprodukt auffassen und) als Normalenform schreiben. Die Spitze S der Pyramide ist der Schnitt einer Gerade durch H mit n als Richtungsvektor; diese Gerade lässt sich einfach als Parameterform aufstellen. Mit zwei der drei Gleichungen des Schnittansatzes lässt sich der Parameter bestimmen, mit der dritten die Koordinate zH.
B. Winkel von G und AS würde ich auch so machen wie von dir vorgeschlagen.
C. Volumenformel ok (Höhe der Pyramide ist | S - Höhenfußpunkt | ), aber die Berechnung der Grundfläche G nicht . Der Betrag | n | ( = | b ✖ c | ) ist der Flächeninhalt des von b und c aufgespannten Parallelogramms; G ist halb so groß.
D. Ich nehme an, Ma soll der Mittelpunkt einer Seite sein. Wenn du die Seitenhalbierende durch den Punkt C verwenden willst, so geht diese durch Mc (nicht durch Ma).
Aber auch dann muss das nicht hinhauen, denn die Seitenhalbierende ist im Allgemeinen keine Höhe, so dass der Winkel zwischen Seitenhalbierenden benachbarter (begrenzender) Dreiecke der Pyramide kleiner sein kann als der Winkel zwischen den sie enthaltenden Ebenen.
(Vorstellung: Wenn B, C und die Ebenen ABS und ABC gleich bleiben, aber A und damit Mc bei einer entsprechend gestalteten Pyramiden auf der Gerade (AB) "ins Unendliche abhaut", wird der von dir berechnete Winkel beliebig klein.)
Also klappt das nur, wenn die betrachteten Dreiecke gleichschenklig (und Seitenhalbierende = Höhe) ist, und das ist fraglich. - Alternative:
Der Winkel zwischen ABC und ABS ist so groß wie der Winkel zwischen den Normalenvektoren beider Ebenen. c = B - A hast du schon, und S - A (aus Nummer B.) auch; also bekommst du leicht einen Normalenvektor von ABS per Kreuzprodukt, und den Winkel zwischen den Normalenvektoren per Skalarprodukt.
Mich würde dann schon interessieren, wie deine ("fertige") Rechnung aussieht.
nimm winkel der einen ebene und winkel der anderen ebene, stupide einsetzen in formel für winkel zwischen vektoren (googeln) dann haste die winkel.
für das volumen einfach kreuzprodukt 2 er vektoren die die grundfläche aufspannen * 1/6 tel
gruß
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich verstehe das Beispiel momentan um einiges besser!!