Frage von Hiavatha8, 106

Hilfe bei Matheaufgabe (Kreisausschnitt)?

Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe: ''Berechne die fehlenden Größen für einen Kreisausschnitt.'' Also gegeben sind der Kreisbogen: 12cm und der Flächeninhalt: 40cm². Ich muss den Radius und Alpha berechnen. Hoffe, dass mir jemand helfen kann. Ich hab' die Aufgabe schon alleine probiert, bin aber überhaupt nicht weitergekommen. :/ LG Hiavatha8

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 62

Wenn du schon angefangen hast, gehe ich mal davon aus, dass du dir die Formeln bereits herausgesucht hast.

Bogen                                     b =  π r α / 180
Fläche  des Kreisausschnitts    A =  π r² α / 360

Bekannt sind dabei       b = 12 cm   und     A = 40 cm²

Wenn man sich die Formeln genau anguckt, sieht man, dass die zweite entsteht, wenn man die rechte Seite der ersten mit r/2 malnimmt, sodass man auch schreiben kann:         A = b * r / 2

So geschrieben, ist nur noch eine Größe unbekannt in dieser Gleichung: r
Und zwar ist:                           b r / 2  = A            | *2
                                              b r       = 2 A         | /b
                                                 r       = 2 A / b

Zahlen einsetzen:                        r       = 2 * 40 / 12  [cm]

Mit einem bekannten r können wir aus beiden obigen Gleichungen α leicht ausrechnen. Ich nehme mal die erste, die ist etwas einfacher.

π r α / 180  =   b                          | *180
         π r α  =  180 * b                  | /πr
              α  =  180 * b/ (π * r)

Zahlen einsetzen, r können wir von eben nehmen:
              α  =  180 * 12/ (π * r)  [°]

             

Kommentar von Hiavatha8 ,

Dankeschön :3

Antwort
von poseidon42, 41

Also die Fläche eines Kreises berechnet sich ja wie folgt:

A = pi*r²

Der Umfang zu:

U = 2*pi*r 

Du weißt, dass 12cm eine Fläche von 40cm² aufspannen.

U = 2pi*r II *1/2

U/2 = pi*r   II *r

U*r/2 = pi*r² = A

Wir wissen 12cm ist k*U, mit k als Proportionalitätsfaktor, und damit:

U*r/2 = pi*r² = A  II *k

U*k*r/2 = pi*r²*k = A*k

Damit ist A*k = a, die Fläche des Kreisausschnittes und U*k = u, die Länge des Kreisbogens:

u*r/2 = a   II *2/u

r = 2*a/u

Damit erhalten wir für den Radius:

r = 2*40cm/12  = ca. 6.67 cm

Zum überprüfen setzen wir einfach mal ein:

U = 2*pi*6.67cm = 41.91 cm

A = pi*6.67^2 *cm² = 139,76cm²

Und 12cm/U = 0.286

Und 0.286*A = 40.017cm²

Damit sollten das die gesuchten Maße sein.

Kommentar von Hiavatha8 ,

Danke :3

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

r = A/b also r = 40/12 = .....

und alpha = 180 • b / (pi • r)

Kommentar von poseidon42 ,

Wieso fehlt bei dir das *2 bei der Berechnung des Radius?

Neben meiner Rechnung möchte ich analog noch zu dieser Seite verweisen:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kreissektor-kreisausschnitt.html

Kommentar von Ellejolka ,

danke, ja da hast du recht; r = 2A/b

Kommentar von Hiavatha8 ,

Danke :3

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