Hilfe bei Mathe (Analysis)?

Guten Tag euch,

ich übe momentan viel Mathe und bin nun auf eine Aufgabe gestoßen, die ich in keinster Weise bearbeiten kann und komplett auf dem Schlauch stehe:

Ermitteln Sie jeweils die Gleichung der Wendetangenten für die nachfolgende Funktion:

f(x) = ⅛x⁴ - 3x²

(Achtung: Zwei Tangenten)

Gibt es jemanden unter euch, der diese Aufgabe bitte lösen kann und detailliert bitte alle Schritte auflistet (nachvollziehbar)

Größten Dank für eure Hilfe <3

Liebe Grüße

Answer 1

[LoverOfPi]

Wendetangenten sind die Tangenten, die den Wendepunkt einer Funktion tangieren, also müssen wir diesen zunächst berechnen.

Deine Funktion

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}\cdot x^4-3x^2$ Hat dabei folgende Ableitungen, die wir brauchen:

$f'\left(x\right)=\frac{1}{2}x^3-6x,\ f''\left(x\right)=1.5x^2-6,\ f'''\left(x\right)=3x$ Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung 0 sein.

$f''\left(x\right)=1.5x^2-6=0\ \leftrightarrow\ 1.5x^2=6\ \leftrightarrow\ x^2=4\ \leftrightarrow\ x_{1,2}=\pm2$ Jetzt prüfen wir, ob die errechneten x-Werte auch tatsächlich Wendepunkte sind. Dafür muss aber f'''(x) ungleich 0 sein. Dass das gilt, sieht man recht trivial.

Also haben wir die Wendestellen bei 2 und -2. Berechnen wir nun erstmal die y-Werte der Punkte durch einsetzen in die Ursprungsfunktion:

$y=f\left(x\right)\ \rightarrow\ f\left(2\right)=\frac{1}{8}\cdot2^4-3\cdot2^2=\frac{1}{^{2^3}}\cdot2^4-12=-10$ Die Funktion ist natürlich auch achsensymmetrisch zur y-Achse, also erhalten wir auch für -2 den gleichen y-Wert.

Nun geht es mit den Punkten W_1(-2/-10), W_2(2/-10) an die Tangentenbestimmung. Die Steigung einer Tangente an einer Stelle eines Funktionsgraphen stimmt an besagter Stelle mit der Steigung der Funktion überein, es gilt:

$y_{\tan}=m_{Fkt}\cdot x+n;\ f'\left(x\right)=m,\ f'\left(2\right)=\frac{1}{2}\cdot2^3-6\cdot2=4-12=-8$ Die Steigung der Wendetangente in x=2 ist also -8. Nun bestimmen wir mit dem Punkt an sich (indem wir x und y einsetzen) den Wert für n.

$-10=-8\cdot2+n\ \leftrightarrow\ 6=n$ $y_{\tan1}=-8x+6$ Die zweite darfst du jetzt bestimmen.

Graphisch lässt sich meine erste Lösung bestätigen:

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Answer 2

[JojoMVP]

Versuch es vllt erstmal mit den tipps:

Erstelle die die ersten drei Ableitungen der fnkt, um herauszufinden, an welchen Stellen die wp sind, indem du die zweite ableitung gleich Null setzt und den wp mit der dritten ableitung beweisen kannst

Um die Steigung der einzelnen Tangenten herauszufinden, musst du die x Werte in die erste ableitung einsetzen

Dann kannst du die x-Werte in die Normalfunktion einsetzen, um auch die y-Werte zu bekommen.

Jz kannst die die Formel einer Tangente, also y=mx+b benutzen und für m deine Steigung und für y den yWert an der Stelle x einsetzen. Dies kannst du nach b auflösen und dann hast du alle Werte die du brauchst.

Hoffe das ist soweit verständlich