Grafisches Differenzieren; Ableitungen - Herleitung?
Guten Abend,
ich verstehe bereits die Grundlagen von der Ableitung der Mathematik und habe hier noch eine Frage zur h-Methode. Außerdem verstehe ich beim grafischen Differenzieren einen Aufschrieb nicht ganz.
Frage 1:Was ist der Unterschied von grafischen Differenzieren und ableiten?
Frage 2:
Unten steht ja unter Punkt 2 (bei „Wie leitet man graphisch ab?“), dass man für f‘ bei jedem x-Wert wo f ein Maximum oder Minimum hat eine Nullstelle einzeichnet.
- Wofür macht man diesen Schritt?
- Ist hiermit das eingezeichnete x0 gemeint?
Außerdem verstehe ich die unteren Definitionen rechts nicht (die 1. Spalte in der Merke-Tabelle verstehe ich).
Also was f(x0), f‘(x0), f(xw) sowie f‘(xw) aussagen/bedeuten und wofür sie sind und was man mit ihnen anfangen kann in Bezug auf die Zeichnung/ des Rechnens.
Frage 3:
Ich verstehe die h-Methode noch nicht und wieso man „lim h->0“ z.B. schreibt. Wofür braucht man die h-Funktion?
Verstehe hier aufgrund des mangelnden Wissens (neues Thema von heutiger Mathestunde) leider nicht was h sowie „lim“ ist & was die Formeln auf dem Blatt aussagen (bzw. die Rechnung). Und in den nächsten Mathestunden geht es einfach mit dem Thema weiter.
Ich freue mich über deine Hilfe 😊 💪💚
Wie die h-Methode hergeleitet ist habe ich jetzt etwas besser „verstanden“. Aber ich verstehe nicht, wie man weiß wie man eine Funktion dort einsetzt (normal hat man bei der Berechnung der Steigung ja 2 Punkte, hier ist ja nur eine Funktion gegeben).
Solche Aufgabe muss ich lösen:
„Leiten Sie ab.“
Dieses Infoblatt habe ich:
Ich verstehe nicht, wie man sich merken kann wie eine Wurzel, sin x, cos x, usw… abgeleitet werden. Gibt es hier für sin x bzw. cos x eine logische Erklärung?
3 Antworten
Wie die h-Methode hergeleitet ist habe ich jetzt etwas besser „verstanden“.
Und nun eine gute Nachricht: du musst die h-Methode nur jetzt am Anfang und damit wahrscheinlich nur für eine Klausur beherrschen. Danach kommt die nie wieder vor auch nicht im Abi oder irgendeinem Studium. Das ist ja nur die Herleitung der Ableitung. Danach arbeitet man nur noch mit den diversen Ableitungsregeln.
normal hat man bei der Berechnung der Steigung ja 2 Punkte,
Ganz genau. Mit der h-Methode erzeigt man sich künstlich den zweiten Punkt xo, um eine Steigung errechnen zu können. Und kaum hat man sie, lässt man den künstlichen zweiten Punkt mit dem limes wieder auf x zurückwandern, sodass er gleich wieder verschwindet: h war ja die Differenz x1 - x0 und wenn die zu 0 wird, ist xo = x1. Nun hat man plötzlich die Steigung im Punkt x1 ohne einen zweiten Punkt. Das ist der Trick bei einem Differential, dass aus der Differenz h das Differential mit h = 0 wird. Aber wie gesagt....hauptsache du kannst die Aufgaben in der Klausur rechnen und das wars dann auch.
Anstattt ständig die h-Methode anzuwenden, lernt man im nächsten Schritt die Ableitungsregeln auswendig.
Beispiel:
f(x) = 1 - 3cos x
Zuerst kommt die Summmenrege: beide Summanden kann man getrennt voneiander jeden für sich ablleiten.
Aus der 1 wird abgeleitet 0 (wie jede Zahl ohne x abgeleitet 0 ergibt)
Nach der Faktorregel 3 bleibt dieser Faktor erhalten.
die Ableitung von cos ist -sin
Also:
f'(x) = 0 - 3*(-sin x) = 3sinx
Ich verstehe nicht, wie man sich merken kann wie eine Wurzel, sin x, cos x, usw… abgeleitet werden.
Da erinnere ich mich an einen Spruch meines Matheprofs: "Wenn Sie sich das nicht merken können, müssen Sie es eben auswendig lernen."
Wurzeln ablleiten ist einfach. Die schreibt man in eine Potenz um und dann gilt wieder die Potenregel: alte Hochzahl vor, neue Hochzahl eins weniger:
√x = x^(1/2)
d/dx x^(1/2) = 1/2 * x^(-1/2) = 1/2 * 1/√x = 1 / 2√x
∜x = x^(1/4)
d/dx x^(1/4) = 1/4 * x^(-3/4) = 1 / 4x^(3/4) = 1/4∜x^3
übrigens noch ein Tipp:
wenn du am Üben bist und deine Lösung überprüfen möchtest, hilft der geniale onlien-Ableitungsrechner enorm weiter. Der leitet auch die kompliziertesten Funktionen ab und zeigt auch den Lösungsweg an:
https://www.ableitungsrechner.net/
Bei den trigonometrischen Funktionen muss man auswendig lernen:
d/dx sin = cos
d/dx cos = -sin
Das ergibt sich aber auch, wenn man die Kurven ansieht:
Bei 0 hat der sinus die Steigung 1: abzulesen am cosinus.
Bei π/2 und 3/2 π hat der sinus die Steigung 0..abzulesen am cosinus.
Umgekehrt beim cosinus: bei π/2 hat er die Steigung -1, der sinus zeigt aber 1, also muss das minus davor etc.
Das ist beliebig und hat sich halt so eingebürgert. Du könntest die Punkte auch xa und xb nennen.
Das war die schnellste hilfreichste Antwort 😜
Stimmt, zumindest einer der schnellsten. Neulich habe ich eine hilfreichste Antwort auf eine Antwort erhalten, die ich vor 5 Jahren (sic!) gegeben habe. Da habe ich mich auch gewundert.
Wie weiß ich, wann ich die h-Methode benutze?
Bei der Aufgabe „f(x) = 1 - 3cos(x)“ hast du ja die Summenregel angewendet. So hätte ich das auch gemacht.
Ist das dann mit einem falschen Ansatz gelöst? (In der Aufgabe Stand nur „Leiten Sie ab.“ also denke ich passt das hier)
Mich verwirrt das gerade ein wenig.
Also wie ich weiß wann ich die h-Methode anwenden muss. Nicht das ich dann eine andere Methode anwende.
Habe auch noch eine Aufgabe die ich nicht so verstehe:
“Bestimme die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f mit f(x) = 3x^(2) + 1 mithilfe der h-Methode und bestimme anschließend die Ableitung an Stelle x = 2“
Ohne h-Methode könnte man die doch auch lösen mit der Summenregel oder?
Setzt man dann am Ende in die Ableitungsfunktion x = 2 ein? Dann hätte man doch die Steigung an der Stelle x = 2 von der nicht abgeleiteten Funktion oder? Gefragt ist aber die Ableitung an der Stelle x = 2. Verstehe das irgendwie nicht.
(Die Potenzregel mit Wurzeln muss ich unbedingt üben und auswendig lernen, kann sie noch nicht, gut das du mich darauf gebracht hast 💚)
Also wie ich weiß wann ich die h-Methode anwenden muss. Nicht das ich dann eine andere Methode anwende.
Die musst du genau dann anwenden, wenn sie ausdrücklich gefordert ist. Das dürfte aber nur jetzt sein, wo das Differenzieren eingeführt wird. Das wird schon in ein paar Wochen vorbei sein. Dann kannst du diie h-Methode für den Rest deines Lebens wieder vergessen. Wie gesagt, die h-Methode dient nur der Herleitung der Ableitung und ansonsten wendet die kein Mensch mehr an.
“Bestimme die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f mit f(x) = 3x^(2) + 1 mithilfe der h-Methode und bestimme anschließend die Ableitung an Stelle x = 2“
Ohne h-Methode könnte man die doch auch lösen mit der Summenregel oder?
Die könnte man nicht nur ohne h-Methode lösen, die löst jeder, sobald er die h-Methode am Anfang hinter sich gelassen hat, ohne h-Methode mit den bekannten Ableitungsregeln.
Als Vergleich bringe ich das Potenzieren. Zu Anfang, wenn das Potenzieren in den Unterricht eingeführt wird, wird noch lange erklärt, dass z.B. 3^4 bedeutet:
3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 und dazu gibt es auch Übungsaufgaben. Wenn das Thema durch ist, schreibt kein Mensch mehr eine Potenz als wiederholte Multiplikation nieder, sondernm tippt das in den Taschenrechner ein und lässt es sich ausrechnen. So ist das auch mit der h-Methode: lernen, verstehen, vergessen.
Beispiel: gegeben: f(x) = 3x^(2) + 1; gesucht Steigung bei x = 2
Kein Mensch ausser deinen Altersgenossen würde hier die h-Methode anwenden. Jeder andere würde rechnen:
f'(x) = 6x
f'(2) = 12
..und fertig.
Da es aber nun mal gefordert ist, soll hier mit der umständlichen h-Methode gerechnet werden.
Sehr hilfreich 💪😊 Vielen dank :-)
Kannst du mir da noch zeigen wie ich das in die h-Methode einfüge? 😊
gegeben: f(x) = 3x^(2) + 1; gesucht Steigung bei x = 2
Verstehe das nicht, wenn ich anschaue, wie es an den 3 Beispielen eingefügt ist 🤔
Und vor allem was dann mit der + 1 passiert.
(Das 1. Bild in der Ergänzung/ dort steht als Lösung z.B. bei „f(x) = 2x“: „lim [h->0] 2 = f‘(x)“/ finde die Schreibweise irritierend weil hier steht ja erst Limes davor wenn es schon ausgerechnet wurde (die h-Metode) und das Ergebnis sieht auch komisch aus, da neben Limes noch = f‘(x) steht.
Normal schreibt man Limes in dem Schritt schon davor, wenn man es ausrechnet oder?
„Also f‘(x) = lim[h->0] (f(x+h)-f(x))/h“ - muss man immer Limes hinschreiben wenn man das so rechnet?
Man schreibt ja zuerst die Funktion irgendwie in die h-Methode, dann hat man die nicht abgeleitete Funktion. Und wenn man dann ableitet mit Limes h gegen Null streicht man ja die h durch.
Kann man das einfach immer alles durchstreichen und die Zahl dann hinschreiben an Stelle von h?
Weil da ja ein Minus dazwischen ist geht es und bei einem Mal würde es nicht gehen oder?
Habs in eine neue Antwort geschrieben, da es nur dort einen Formeleditor gibt.
zu Frage 1) "ableiten" und "differenzieren" bedeutet das gleiche, nämlich das Ermitteln der Steigung einer Funktion - allgemein oder speziell für ein bestimmtes x. Das macht man in der Regel rechnerisch, entweder mit dem Differentialquotienten (z. B. h-Methode) oder später direkt mit diversen Ableitungsregeln. Grafisch markiert man wie hier gezeigt markante Punkte des Funktionsgraphen und skizziert daraus den Ableitungsgraphen.
zu Frage 2) "diese Schritte" macht man, weil dies spezielle Punkte sind. Bei den Extremstellen ist nunmal die Steigung Null, das sieht man ohne etwas rechnen zu müssen und an der Wendestelle ist die Steigung am stärksten/extremsten. Mit diesen Punkten kann man in etwa sehen, wie der Ableitungsgraph verlaufen muss. Das x0 ist die x-Stelle, an der die Funktion eine Extremstelle hat, d. h. dort ist die Steigung 0. xw ist die Wendestelle der Funktion, dort ist die Steigung am stärksten (in diesem Fall am stärksten fallend).
zu Frage 3) die Steigung ermittelt man ja bekanntlich, indem man mithilfe von zwei Punkten den Differenzenquotienten aufstellt (diese Gleichung hast Du sicher schon gesehen...: m=(y2-y1)/(x2-x1)). So erhält man die (durchschnittliche) Steigung zwischen diesen beiden Punkten. Möchte man nun aber die exakte Steigung an einer bestimmten Stelle x wissen, so wählt man diesen Punkt und einen Punkt etwas daneben und lässt diesen "Hilfspunkt" auf den gewünschten Punkt zulaufen. Der Unterschied der beiden x-Werte dieser Punkte ist das h, das gegen 0 läuft. Der Punkt, dessen Steigung man wissen möchte, hat die Koordinaten (x|f(x)) und der Hilfspunkt, der ja h Einheiten weiter rechts liegt hat die Koordinaten (x+h|f(x+h)). Das ergibt für den Differenzenquotienten: (f(x+h)-f(x))/(x+h-x)=(f(x+h)-f(x))/h. Da man h=0 nicht einfach so einsetzen kann, sondern nur prüfen kann, was passiert wenn h "ganz nah" an 0 rankommt, berechnet man den "Grenzwert". Dieser wird mit "lim" bezeichnet. D. h. aus dem oben genannten Differenzenquotienten wird der Differentialquotient: lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h.
Vielen Dank erstmal für deine Mühe und Zeit 💚💪🍀
Zu Frage 3):
Was bedeutet f(x1) und f(x0) auf dem Foto und wie weiß ich das h unterhalb des Bruches steht? Wie weiß ich welche Werte ich wo in die Funktion einsetzen muss? Hatte von Daniel Jung ein Video dazu angeschaut, es aber nicht verstanden.
Kennst du vielleicht ein besseres Video da wo das genau erklärt ist auch mit der Formel die auf meinem Blatt als erstes steht und die dann umgeformt wird?
Die Steigung zwischen 2 Punkten ermittelt man, indem man die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte ermittelt; das ist der sogenannte Differenzenquotient. Den hast Du ständig gebraucht, als Du die Steigung von Geraden ermittelt hast! (Stichwort: Steigungsdreieck).
f(x1) ist der y-Wert (Funktionswert) an der Stelle x1 und f(x0) entsprechend der y-Wert an der Stelle x0, wobei x1 und x0 die beiden Stellen der Punkte sind, die in diesen Quotienten eingesetzt werden. Nennt man nun die Stellen der beiden Punkte nicht x1 und x0, sondern x+h und x, dann ergibt sich für den Nenner des Differenzenquotienten statt x1-x0 logischerweise (x+h)-x, und das ergibt zusammengefasst das h.
Bzgl. des Einsetzens: Du hast ja irgendeinen Funktionsterm f(x) gegeben, dessen Steigung Du an der Stelle x ermitteln sollst.
Die "Formel" lautet im Zähler f(x+h)-f(x). D. h. vorne trägst Du den Funktionsterm so ein, indem Du jedes x durch (x+h) ersetzt. Dahinter kommt einfach nur "minus" gefolgt vom Funktionsterm von f(x) (dieser Term natürlich in Klammern, weil ja ein Minus davor steht). Das Ganze dann einfach nur durch h teilen. Bei ganzrationalen Funktionen wirst Du den Zähler so umformen können, dass Du das h im Nenner kürzen kannst. Danach kannst Du dann im übrig gebliebenen Term problemlos für h die Null einsetzen. Was dann übrig bleibt ist die Steigung an der Stelle x.
Videos kann ich keine nennen: Daniel Jung wird eigentlich oft genannt, wenn es um verständliches "näher bringen" geht.
Ich glaube ich komme bald auf das Verständnis ;-)
Wieso teilt man durch h? Was ist die Erklärung/Herleitung dafür?
Den oberen Teil der Formel habe ich eigentlich verstanden, und Limes h->0 bedeutet, dass man die beiden Punkte auf einen Punkt bringen möchte und h = 0 ist.
Kannst du mir die Aufgabe auf dem 2. Foto bei Aufgabe 3 vorrechnen damit ich es anhand dessen dann endlich begreife.
Man kann ja nicht einfach 0 einsetzen in die Formel sondern muss h kürzen oder (so wie auf dem 1. Foto bei Aufgabe 3)?
Man teilt "eigentlich" durch die x-Werte der Punkte (Guck Dir nochmal den Differenzenquotienten genauer an!!! m=(y2-y1)/(x2-x1)).
Wenn nun x2 den x-Wert (x+h) hat und x1 hat den Wert x, dann ist die Differenz daraus (man teilt ja durch die Differenz der x-Werte) x+h-x und das ist nunmal h.
Aufgabe 3: f(x)=x³
f(x+h) ist dann (x durch x+h ersetzen) =(x+h)³. Und das ist ausmultipliziert =x³+3x²h+3xh²+h³.
Das wird jetzt alles in den Differentialquotienten lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h eingesetzt, also (ich nehme jetzt schon den ausmultiplizierten Teil von f(x+h)!):
lim h->0 (x³+3x²h+3xh²+h³ -x³)/h [hinten das x³ ist f(x)]. Das x³ hebt sich auf und es bleibt übrig:
lim h->0 (3x²h+3xh²+h³)/h
Im Zähler kommt in jedem Summanden ein h vor, d. h. man kann ein h ausklammern bzw. direkt aus jedem Summanden jeweils ein h zusammen mit dem im Nenner kürzen und es bleibt:
lim h->0 3x²+3xh+h²
Hier kann man nun problemlos h Null werden lassen, d. h. man kann einfach h=0 einsetzen und erhält als Grenzwert (jetzt ohne "lim"): =3x²=f'(x)
D. h. die Ableitung von x³ ist 3x². Willst Du nun wissen, wie die Steigung bei f(x)=x³ z. B. an der Stelle x=4 ist, setzt Du diese 4 einfach in die Ableitung ein und erhältst 3*4²=48.
Die h-Methode bei f(x) = 3x^2 + 1
Zuerst bilden wir den Differenzquotient mit einem endlichen h (h größer 0):
und klammern aus:
und kürzen mit h:
Nun gehen wir vom Differenzquotienten zum Differentialqoutienten über, indem wir die Differenz zwischen den beiden Punkten x1 und x0 = h unendlich klein werden lassen:
lim (h⇾0) (6x + h) = 6x = f'(x)
Ups....im zweiten Bruch habe ich das + 1 hinter 3x^2 + 6xh + h^2 vergessen....
Vielen Dank 💪😊💚
Wie kann man die Funktion eigentlich bezeichnen vor dem „=„-Zeichen?
Manche „h“ hast du ja gekürzt und eins ist z.B. hier ja stehen geblieben und dieses „h“ hast du mitgenommen in Limes. Wie weiß man, wie viele h man mitnehmen kann?
Die Funktion nennt sich Limes oder auf Deutsch Grenzwertbildung. Limes kommt aus dem Lateinischen und bedeutet übersetzt "Grenze". Man kürzt grundsätzlich so viele h raus, wie nur irgendwie geht, wobei das bei der h-Methode eigentlich immer ein h ist, da das ja wegen ∆x = h genau einmal im Nenner auftaucht. Die h, die nach dem Kürzen übrig blleiben, muss man dann in den Limes mitnehmen.
Das „gute“ ist, dass die h-Methode nicht dran kommt. Habe den Lehrer gefragt und er sagte dass es höchstens wieder im Studium dran kommt. (Hatte also jetzt für die Fachhochschulreife dann am Ende in keiner Klassenarbeit die h-Methode). Dann haben wir die h-Methode nur zur Einleitung ins Thema und für das Verständnis kurz gemacht.
Dafür aber viele Regeln der Ableitung, die man können muss.
Dann brauche ich mich jetzt ja nicht mehr so auf die h-Methode konzentrieren, auch wenn ich sie nicht voll und ganz verstehe (keine viele Übungen gemacht), sondern nur auf die Regeln der Ableitung.
Danke für deine viele Hilfe 💪💪😊
Bin gerade nur am lernen dieses ganze Schuljahr und habe in jedem Lernfach (auswendig lernen) schlechtestes eine 1,3 geschrieben, wirklich anstrengend aber fleißig sein lohnt sich wirklich sehr...
Das „gute“ ist, dass die h-Methode nicht dran kommt.
Sagte ich ja schon, dass man die bald wieder vergessen kann, weil die keiner mehr braucht.
sondern nur auf die Regeln der Ableitung.
Die sind allerdings lebenswichtig. Von denen kommt man so schnell nicht wieder los.
Danke für deine viele Hilfe
Gerne, Hauptsache, es hat was gebracht.
Morgen in der nächsten Stunde
(versuche es mir von zuhause es irgendwie beizubringen, da ich wegen meiner Weisheitszahn Op erst Montag wieder in die Schule kann)
geht es weiter mit der Kettenregel, versuche sie mir mit Videos usw. anzueignen aber habe bis jetzt nur manche wenige Aufgaben selber gelöst bekommen 😬
Wie man die innere und äußere Ableitung voneinander unterscheidet, Brüche mit x oder Brüche in sin/cos mit der Kettenregel ableitet verstehe ich noch nicht so wirklich.
Vielleicht hast du ja noch Lust mir bei meiner Frage ein wenig zu helfen (habe ein Foto mit der Buchseite mit Einführungsaufgaben zur Kettenregel in dem Beitrag)
(habe dort bereits eine Antwort bekommen, diese hat mir leider aber nicht so sehr viel geholfen,… 🤔)
Es fängt bereits daran an, dass ich bei der Aufgabe 1, die grün (als einfach) bezeichnet ist im Buch, die Aufgabe f) zum Beispiel nicht verstehe (mit einem Bruch in cos).
https://www.gutefrage.net/frage/mathe---wie-geht-die-kettenregel
Ich kann nur jedes Mal danke sagen, dass du einfach zu viel anderen hier in deiner freien Zeit einfach so hilfst… Wirklich großartig… 💚
Falls ich nicht mehr dran denke, darfst du mich morgen gern nochmal dran erinnern.
Verinnerliche mir das jetzt bis ich es im Schlaf kann 💪 Vielen vielen Dank!!!! 💚
Noch eine Frage: warum nennt man den künstlich erzeugten Punkt x0 und einen anderen x1?