Gradmaß/ Bogenmaß, wann benutzt man shift sin(x)?
Ich nehme in der Schule gerade Sinus/ Cosinus/ Tangens durch. Was mich verwirrt, ist die Unterscheidung, wann man den Taschenrechner (Casio) auf Deg, und wann auf Rad stellen, vor Allem aber, wann man davor auch noch die Shift Taste drücken muss. So gibt es also vier verschiedene Möglichkeiten, etwas einzugeben:
Deg sin (x)
Deg Shift sin (x)
Rad sin (x)
Rad shift sin (x)
Bei meinen Recherchen im Internet stieß ich jedoch immer nur auf die Erklärung von Grad- und Bogenmaß, es wurde jedoch nichts über die Shift Taste ( "Sinus/Cosinus/Tangens hoch minus eins") erklärt. Ich wäre dankbar für eine verständliche Erklärung.
3 Antworten
Okay. Hier eine Kurzeinführung. Stell dir einfach mal einen Einheitskreis, Kreis mit dem Radius 1 um den Nullpunkt (0/0).
Jetzt betrachtest du Winkel an diesem Kreis. Der Winkel wird normalerweise von der positiven Abszisse (x-Achse) nach oben in Richtung positiver Ordinate (y-Achse) gemessen. Du zeichnest quasi eine Strecke vom Nullpunkt auf die Kreislinie und betrachtest dann den Winkel des Kreissegments.
Ein volle Umdrehung im Kreis ist wie viel Grad? Richtig, 360°. Ein halbe Umdrehung im Kreis (also bis zur negativen Abszisse) ist dann 180°. In der Mathematik geht der Drehsinn entgegen der Uhrzeigerrichtung. Mit der Gradangabe kannst du also jeden Winkel darstellen (720° wären z.B. 2 volle Umdrehungen).
Jetzt berechnen wir mal den Umfang im Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel in Grad. Der gesamte Umfang (also bei 360°) beträgt U=2*Pi*R und da R = 1 im Einheitskreis gilt beträgt der Umfang dann 2 Pi.
2 Pi im Einheitskreis ist also der Umfang des Kreises bei einer vollen Umdrehung um 360°. Es handelt sich also eigentlich um eine Streckenangabe. Du kannst nun auch nur eine halbe Umdrehung (180°) betrachten und die Länge des Randes vom Kreissegment betrachtet => U=(1/2)*2Pi usw.
Jeder Winkel in Grad lässt sich also einer Angabe im Bogenmaß zuordnen und umgekehrt. Die Formel zur Umrechnung lautet:
Grad = (Bogenmaß/(2*Pi)*360°
Bogenmaß = (Grad/360°)*2 Pi
Manchmal nimmt man eben den Winkel in Grad (-> Deg, English für Degree, also Grad) und manchmal im Bogenmaß (rad, Englisch für Radiant). Willst du z.B. sin (Pi) im Taschenrechner eingeben so musst du vorher auf "rad" umstellen, für sin (180°) eben auf "deg".
Kommen wir jetzt zu sin(us), cos(inus) und tan(gens). Was hat das mit dem Einheitskreis zu tun? Willst du z.B. einen speziellen Punkt auf der Kreislinie im Einheitskreis angeben brauchst du nur den Winkel. Mit dem Winkel kannst du geometrisch den Punkt bestimmen und trägst du die Koordinaten auf die Ordinate und Abszisse ab erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck.
Im rechtwinkligen Dreieck kannst du nun mit Sinus und Cosinus rechnen. Die Koordinaten des Punktes auf der Kreislinie unter dem Winel alpha wären dann einfach:
y = sin(alpha), x = cos(alpha), tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha) = y/x.
Es gibt nun zu den trigonometrischen Funktion auch noch eine Umkehrfunktion. Willst du z.B. bei gegebenen y und y = sin(alpha) das alpha bestimmen musst du ja danach auflösen. Dies machst du, indem du auf beide Seiten die Umkehrfunktion des Sinus, den Arcussinus, anwendest, denn:
arcsin (y) = arcsin (sin(alpha) = alpha => alpha = arcsin (y) =sin^(-1) (y)
sin^(-1), cos^(-1), tan^(-1) usw. sind einfach nur andere Schreibweisen für den Arcussinus, Arccosinus und Arctangens. Sie kehren die zugehörigen Funktionen im richtigen Bereich einfach um.
Fortgeschrittens Beispiel: y = 5 und gesucht wird alpha mit y = sin (alpha). Wie gehst du vor? Na in dem du mit dem arcsin nach alpha auflöst. Also musst du auf beiden Seiten sin^(-1) (im Taschenrechner Shift vorher drücken) anwenden.
=> arcsin(y) = sin^(-1) (y) = sin^(-1) (sin (alpha)) = alpha
=> alpha = arcsin(y)
Jetzt bleibt nur noch die Frage, ob du rad oder deg verwenden sollst. y ist ja eigentlich kein Winkel, sondern eine Streckenangabe, so wie das Bogenmaß. In diesem Fall musst du also den Taschenrechner auf "rad" stellen, weil du Bogenmaß bzw. Strecken verwendest und eben KEINE Winkel in der Gradangabe.
Merkregel: Benutzt du einen trigonometrische Funktionen (sin, arcsin, cos...) und beim Argument steht kein °/Grad dabei musst du das Bogenmaß "rad" verwenden.
sin(20°) ist mit "deg" zu berechnen, während sin(4) mit "rad" zu berechnen wäre.
Fertig! (Ich weißt, das war jetzt etwas viel Text, aber wenn du das einmal verstanden hast fällt dir alles leicht)
das steht dann für den arcussinus, du gibst das verhältnis von gegenkathete und hypotenuse dort ein und bekommst den winkel im grad oder bogenmaß. du kannst zunächst verwenden, was du willst, aber mit dem winkel in grad kannst du nicht rechnen, weil er eig. keine mathematische basis hat, ich muss in der uni schwerpunkte von kreisen berechnen, da brauche ich das bogenmaß des winkels, weil pi/2 bei nem halbkreis was anderes in der formel ergibt als 90
y = sin(x) >> x gegeben: entweder als Winkel in Grad (deg) oder als Radiant (rad); Ergebnis: Zahl ≤ |1|
y = sin⁻¹(x) >> x gegeben (Zahl ≤ |1|); Ergebnis in Grad (deg) oder als Radiant (rad)
sin⁻¹(x) = arcsin(x) = Shift sin(x)