Gleitender Mittelwert und exponentielle Glättung
Hallo, ich habe dieses Bild auf so einer Seite gefunden. Unten rechts stehen die Lösungen, allerdings fehlt leider der Rechenweg. Wie man den arith. Mittelwert ausrechnet weiß ist, allerdings habe ich keinen Plan wie man auf die anderen 3 Sachen kommt. Kann mir da jemand weiter helfen?
3 Antworten
Für den gleitenden MW, die Kollegen hier haben das schon beschrieben, falls du aber nicht zurecht kommst mit formalen Definitionen und Regeln, hier noch graphisch, mit dem Beispiel einer Zahlenfolge von 8 Zahlen, wobei immer nur der MW der fett markierten Zahlen berechnet wird:
12345 678
1 23456 78
12 34567 8
123 45678
Beim gleitenden Mittelwert werden einfach ältere Perioden weggelassen, d. h. Du berechnest den Mittelwert wie gehabt aus diesen letzten 5 Werten.
Beim gewichteten Mittelwert multiplizierst Du die Gewichtung (Prozente) mit der Menge und addierst die Werte, also 0,05 * 50 + 0,1 * 45 + ... + 0,4 * 35
Bei der exponentielle Glättung, sind ein Vorhersagewert vorgegeben (hier die 37) und der Glättungsfaktor (hier: 0,1). Die Formel lautet dann:
Wert für neue Periode [hier die 11.] = Vorhersagewert * Glättungsfaktor * (Wert der letzten Periode [hier 35 aus Periode 11] minus Vorhersagewert)
sh. dazu auch hier (habs selbst da nachschauen müssen):
https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentielle_Gl%C3%A4ttung
Das arithmetische Mittel ist ja klar.
Der gleitende Mittelwert betrachtet nun nicht alle vorhergehenden Perioden, sondern nur eine bestimmte Anzahl (hier: 5). Ist also besser bezüglich Lokalität. "Alte" Werte fliegen irgendwann raus und werden nicht mehr beachtet, können so die Mittelwertbildung also nicht "verhageln".
Eine weitere Optimierung ist, die betrachteten Perioden nicht gleich zu gewichten, sondern unterschiedlich "wichtig" zu nehmen.
Die gleitenden Mittelwerte kann man als Faltungsfilter (engl. "convolution") auffassen. So kann man mathematisch den Bezug zu (hier: Tiefpass-) Frequenzfilterung herstellen (vgl. Fourieranalyse/Waveletanalse).
Das Problem bei der Faltung ist, dass ein endlicher Faltungskern (d.h. wie hier z.B. 5 Messpunkte) grundsätzlich Überschwingunsartefakte an harten Kanten verursacht (vgl. JPEG-Kompression von Schwarzweißtext). Um das zu verhindern bräuchte man Faltungskerne, die sich ins Unendliche ausdehnen (wenn auch mit beliebig kleinen Koeffizienten). Sowas ist natürlich etwas unhandlich (in der Praxis unmöglich!). Ein Beispiel wäre wären Sinc-Filter - mathematisch ideale Tiefpassfilter.
Die exponentielle Glättung ist (meines Erachtens) eine Inkarnation der IIR-Filter (Infinite Impulse Response), also ein Lösungsansatz um unendlich ausgedehnte Faltungskerne handhabbar zu machen. Faltung selbst ist FIR (Finite Impulse Response).
Bei der exponentiellen Glättung wird jeweils ein gewichtetes Mittel aus dem jüngsten Messwert und dem "gemerkten" Mittel gebildet (in deinem Beispiel 90% zu 10% - realistischer wäre eher 30% zu 70%, aber egal). Das Ergebnis ist der neue Mittelwert (der bei der nächsten Berechnung wieder zu x Prozent miteingeht).