Gilt eigentlich das Skalarprodukt auch für Zeilenvektor mal Zeilenvektor oder nur für spaltenVektor mal spaltenVektor und Zeilenvektor mal spaltenVektor?

Das Skalarprodukt ist eine Verknüpfung von n-Tupeln von Ringelementen. (In der Linearen Algebra werden spezieller meist nur Körper betrachtet, was aber an dieser Stelle eigentlich unnötig ist.)

Ob man die n-Tupel nun aber waagrecht oder senkrecht schreibt, ist nur eine Frage der Schreibweise: Es gibt begrifflich überhaupt keinen Unterschied zwischen "Zeilenvektoren" und "Spaltenvektoren". Das ganze Theater darum kommt nur daher, dass man aus Matrizen in natürlicher Weise n-Tupel gewinnt, indem man a) ihre Zeilen, b) ihre Spalten betrachtet. Und diese Tupel stehen nun mal, wenn man sie direkt aus der Matrix herausklaubt, in a) waagrecht, in b) senkrecht da...

Das ist das ganze Geheimnis; vor allem lass dir nichts von "kovariant" und "kontravariant" erzählen, wenn das jemand versuchen sollte: Das stammt aus Zeiten, in denen man Begriffe nicht von Schreibweisen unterscheiden konnte.

Und was ist bei einer nxn-Matrix die sog. "Hauptdiagonale"? Das ist nämlich auch ein in den verschiedensten Zusammenhängen sehr wichtiges n-Tupel. Da das nun weder ein "Zeilenvektor" noch ein "Spaltenvektor" ist, wird das dann wohl ein "Diagonalvektor" sein (Ironie zu Ende).

Übrigens ist ein n-Tupel über einer Menge M nichts anderes als eine Abbildung von der Menge {1,...,n} in M. Eine gängige Schreibweise dafür ist die in runde Klammern gesetzte Auflistung der Bilder der Elemente 1, ..., n (in dieser Reihenfolge). Und das nennen die Leute dann "Zeilenvektor" - als wenn sich an der klaren Abbildungsdefinition etwas ändern würde, wenn man die Bilder abwärts notiert.

Für ein und denselben mathematischen Gegenstand kann es viele Schreibweisen geben. Dadurch entstehen aber mitnichten verschiedene mathematische Gegenstände.

Genauso wie man für Spaltenvektoren



über ℝ mittels



das Standard-Skalarprodukt erhält, erhält man auch für Zeilenvektoren



über ℝ mittels



ein entsprechendes Skalarprodukt.

Man kann aber auch andere Skalarprodukte definieren. Letztendlich kann man in jedem Vektorraum verschiedene Skalarprodukte definieren.

Beispiele: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Beispiele_2