Gibt es irgendwelche Bedingungen, damit ein Rotationskörper um die x- Achse entstehen kann?
Steht ja schon oben. Helft mir bitte.
2 Antworten
Hey,
wir sollten erstmal kurz den Begriff "Rotationskörper" klären.
Ein Rotationskörper, wie er in der Schule eingeführt wird, ist ein dreidimensionales, geometrisches Objekt, dass durch die Rotation eines zweidimensionalen, geometrischen Objekts um eine feste Orientierungsgerade erzeugt wird.
Kurz um: Wenn du eine Funktion skizzierst und dir irgendwo eine Gerade einzeichnest, kannst du deine Funktion um diese Gerade rotieren lassen. Einfache Rotationen sind gerade die, die um die x- bzw. y-Achse ausgeführt werden.
Gedanklich kannst du dir das so vorstellen: Du nimmst eine Schnur, befestigst in der Mitte ein Gewicht und knotest die Schnur mit einem Ende irgendwo fest.
Die gespannte Schnur ist deine Rotationsgerade.
Beginnst du nun das Gewicht in Bewegung zu versetzen, durch leichte aber immer schneller werdende, rotierende Bewegungen, so schwingt das Gewicht in etwa mit dem gleichen Abstand zur Rotationsgeraden. Je schneller du diese Rotation durchführst, umso mehr Bilder muss dein Gehirn verarbeiten. Irgendwann (was man evtl. gar nicht realisieren kann) erkennt man die Schnur nicht länger, sondern sieht einen doppelseitigen Kreisel, bzw. den Rotationskörper.
Nun zu deiner Frage: Wie dir auffällt muss dein zweidimensionales Objekt (die Schnur mit dem Gewicht bei Auslenkung, also Rotation) einen Abstand (!) zur Rotationsachse haben. D.h. du musst zwischen deinem 2D-Objekt und der Achse ein von 0 verschiedenes Volumen (egal ob positiv oder negativ) bestimmen können. (Also rein theoretisch)
1.) Ein negatives Volumen erhälst du z.B. wenn das Integral über die Kurve negativ wird. ;) Normalerweise gibt es kein negatives Volumen, dazu wird dann aber das Integral in Betragsstriche gesetzt. Ein Beispiel ist z.B. die Funktion f(x)=-x. Eine Stammfunktion ist z.B. F(x)=-1/2 x^2. Setzen wir hier die Werte von [0,1] ein, erhalten wir F(1)-F(0)=-1/2. Damit wäre das Volumen dieser Geraden (die unterhalb der x-Achse auf dem Intervall verläuft) negativ.
2.) Ja, man kann auch einen Graphen, der unterhalb der x-Achse liegt, rotieren lassen. (Das Wort Graph ist viel mehr eine Menge von Punkten, als das Bild der Funktion. Aber das ist eine mathematische Feinheit.) Du kannst doch mal einfach die Funktion g(x)=-2 betrachten. Diese verläuft vollständig parallel zur x-Achse bei konstant -2. Eine Rotation um die x-Achse ergibt dann einen unendlich langen Zylinder mit Radius 2. (2 ist der Abstand von der x-Achse zur Geraden g) Schränkst du nun deine Funktion auf ein Intervall ein, so hat dein Zylinder noch die Länge des Intervalls. D.h. wählst du als Intervall [a,b] ist die Länge des Zylinders gerade |b-a|.
naja, die Funktion sollte keine Nullstellen haben
denn wenn die Funktion eine Nullstelle hat, ist das entstehende Rotationsgebilde an dieser Stelle durchschnitten und es entsteht nicht ein Rotationskörper, sondern mehrere
Dankeschön.
Ich hätte da noch 2 Fragen.
1.Wie erhält man ein negatives Volumen? Könntest du mir dazu eine Beispielrechnung zeigen? (nur bei Rotation um die x Achse)
2. Wenn der Graph unter der x Achse liegt, kann man ihn dann trotzdem um die x Achse rotieren lassen? Ja nein mit Beispielen bitte?( hat man dann ein negatives Volumen?)