Für die Physik-Profis!?
Berechnen sie die Bahngeschwindigkeit eines geostationären Satelliten, der in einer Höhe von 35600km über einem Ort am Äquator steht. (Erdradius=6378km)
10 Antworten
- Der Erdradius und die Höhe der Geostationären Bahn ist falsch.
- Die meisten Antworten sind allesamt falsch.
Der Erdradius beträgt tatsächlich 6'371 km. Und die Höhe der Bahn über der gemittelten Erdoberfläche beträgt 35'793,243 km
Der Erdradius am Äquator beträgt nämlich 6'378 km und die gewisse Bahn am Äquator bei ca. 35'786 km.
Die Geschwindigkeit eines Geostationären Körpers ist exakt der der Rotationsgeschwindigkeit der Erde.
Sie rotiert mit: Pi * dErde / 23,93447 h (~3,14159 * 12'756,32 km / 24 h) Das machen 40'075,161 km / 23,93447 h. Und wir bekommen eine Rotationsgeschwindigkeit von 1'674,32811 km/h.
Da Geostationäre Satelliten am selben Punkt vom Himmel stehen, müssen sie genauso schnell sein, sodass sie die standhafte Position halten können. Da die Erde eine Kugel ist, muss sie nur dieselbe Winkelgeschwindigkeit halten.
Um das zu kontrollieren berechnen wir nun den Orbit auf 35'793,248 km Höhe.
Die Formel dazu ist: v = Wurzel aus G * M / r + h.
v ist die Geschwindigkeit, G die Gravitationskonstante, M die Masse, in dem Fall der der Erde, r ist der Erdradius und h ist die Höhe von der Erdoberfläche.
Die Masse der Erde beträgt 5,972*10^24 kg.
Die Gravitationskonstante beträgt 6,6743*10^-11
Der Radius der Erde beträgt 6'371 km.
Und die Höhe von Geostationären Satelliten ab der Erdoberfläche ab beträgt 35'793,248 km.
Jetzt geben wir das in die Formel ein: v = Wurzel aus 6,6743*10^-11 * 5,972*10^24 kg / 6'371'000 m + 35'793'248 m
Das G und M, r und h zusammengefasst (ohne Einheiten): v = Wurzel aus 3,98589196*10^15 / 42'164'248
v² = 9'453'250,4409897 m/s
v = 3'074,6138686 m/s
Und wir sehen, dass diese Aussage sich mit der Rotationsgeschwindigkeit deckt, da die Winkelgeschwindigkeit gleich ist. Der gemittelte Umfang der Erde liegt bei 40'075,161 km wie wir errechnet haben, da sich die Erde mit 1'674,32811 km/h ungefähr dreht dauert eine Drehung 23,93447 h. Das haben wir schon oben berechnet. Jetzt kommt aber die geostationäre Bahn. Da die auch kreisrund sein muss, können wir den Umfang mit Pi und dem Radius der Bahn berechnen. Der Radius der Bahn beträgt nochmal 42'164,248 km. Den Umfang eines Kreises bekommen wir mit Pi * d. Der Durchmesser ist r * 2. Das sind dann 84'328,496 km. Das mit Pi sind dann ein Umfang von 264'925,78352 km. Die Dauer des Orbits können wir jetzt durch t = s / v ermitteln. t = 264'925,78352 km / 3,0746138686 km/s. t = 86'165,5462585 sec.
Wenn ein Tag 23,93447 h hat und ein Stunde 3600 sec, (60 min * 60 sec) dann hat ein Tag 86'164,092 sec. Das passt durch die Auf-/Abrundungen von den ganzen Rechnungen. Denn die Differenz liegt nun bei 1,4542585 sec.
Insofern ist ein Satellit auf der Geostationären Bahn 3'074,6138686 m/s schnell. Das sind 11'068,60993 km/h (Umrechnungsfaktor von m/s auf km/h: mal 3,6)
Falls das sich nicht genau deckt mit deinen Nachrechnungen, dann liegt es bei mir bei der Auf/Abrundung.
Fz=Fg
Fz ist die Zentrifugalkraft und Fg die Gravitationskraft. Außerdem:
Fz=m*v^2/r
Der Rest sollte für dich Schaffner sein ;)
Das kürzt sich weg. Stelle mal die Formel auf und löse nach v auf
Das kürzt sich raus, da im Gravitationsgesetz ebenfalls m auftaucht.
Berechne einfach den Kreisumfang und teile durch 24h, dann hast Du km/h.
Kreisumfang ist 2*pi*r.
Hinweis: Berechne die Länge der Kreisbahn (= Kreisumfang) und überlege, in welcher Zeit diese Bahnlänge zurückgelegt werden muss.
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Die Erde dreht sich innerhalb eines Tages einmal um ihre Achse.
1 Tag = 24 h = 24 ⋅ 60 min = 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s = 86400 s
Der Satellit befindet sich 35600 km + 6378 km = 41978 km vom Erdmittelpunkt entfernt. Die Länge der Kreisbahn, also der Umfang des entsprechenden Kreises, auf dem sich der Sattelit bewegt, ist dann ...
2π ⋅ 41978 km ≈ 263756 km
Der Satellit muss also etwa 263756 km in 86400 s zurücklegen. Für die Bahngeschwindigkeit erhält man demnach ...
(263756 km)/(86400 s) ≈ 3,053 km/s
Der Sattelit hat also eine Bahngeschwindigkeit von etwa 3 km/s.
Da nehmen wir der Einfachheit halber eine kreisförmige Bahn an, und der Radius dieser Kreisbahn ist die Summe aus der Höhe über der Erdoberfläche und dem Erdradius, also 35.600 km + 6.387 km = 41.978 km
Die Strecke, die der Satellit täglich zurücklegt, entspricht dem Kreisumfang U = 2*Pi*r = 263.755,55 km
Den Wert teilt man jetzt durch 24 Stunden und kommt so auf 10.989,81 km/h, also rund 11.000 km/h oder rund 3 km/s.
....wieviel stellen von Pi hast benutzt ? :))