Flächeninhalt in Abhängigkeit von X berechnen, wie geht das?
Guten Tag, ich schreibe am Montag in Mathe eine Ex und eines der Themen ist das Berechnen eines Flächeninhalt in Abhängigkeit von X. Wir haben zurzeit das Thema mit den Parabeln, Orthogonale Affinität usw. Ich habe bis jetzt nur herausgefunden, dass das Berechnen mit der Determinante funktioniert, aber die habe ich zuletzt letztes Schuljahr in der 9. benutzt, also kurz gesagt ich habe keinen Plan mehr wie die funktioniert. Wäre nett, wenn es mir jemand erklären könnte, anhand eines ,,allgemeinen" Beispiels. Ps: Habe leider keine Aufgaben, wie ich euch geben könnte als Beispiel. Das ist nämlich das Problem, ich habe so gut wie nichts dazu. Danke schonmal im vorraus.
4 Antworten
Hallo Niklas,
lass uns folgendes Beispiel anschauen: Punkt A(0;0), B(x;0) und C(x;f(x)), wobei C auf dem Graphen der Funktion f(x) = x^2 liegt, bilden ein Dreieck ABC, stelle seine Fläche S(x) auf.
Ist das eine Aufgabe von der Art, wie du sie erklärt haben möchtest?
Ja, sorry! Du wolltest nur zeigen, daß sich die Fläche des Dreiecks vervierfacht für x =2 im Vergleich zu x = 1.
Allerdings hat der Fragesteller nicht erwähnt daß sie bei Vektorgeometrie sind. Was ich dann ebenso bezweifle. Und die Frage, die der Fragesteller jetzt stellt, was wäre wenn es sich um ein Viereck handelt, beweist daß das Video ihn eher verwirrt hat.
Es könnte sich dann für das Niveau von 10. Klasse in Vektorgeometrie nur um 2 Punkte (C und D) handeln, die auf derselben Geraden liegen und die Fläche wäre die Summe der zwei Dreiecke.
Gehe aber davon aus, daß die Aufgabe die ihnen abverlangt wird, nicht diesen Schwierigkeitsgrad haben.
Solange wir kein konkretes Beispiel (Aufgabe) haben, können wir da nicht wirklich weiterhelfen, ohne noch mehr zu verwirren.
Ich kenne solche Aufgaben von meinen Nachhilfeschülern, das wird tatsächlich im letzten Jahr der Realschule (in Bayern) durchgenommen. Ohne besonderen Tiefgang, ich bin mir nicht mal sicher, ob da Vektoren als solche benannt werden, aber auf jeden Fall im zweidimensionalen Koordinatensystem und sogar in dreidimensionalen Körpern (zum Beispiel: ein Punkt bewegt sich entlang einer Pyramidenkante und bildet mit der Grundfläche eine kleinere Pyramide, man soll dann ihn Volumen aufstellen).
Ok! Dann lass uns versuchen die Aufgabe gemeinsam zu lösen! Am besten fängt man mit einer Skizze an, um sich die Aufgabenstellung besser veranschaulichen zu können. Aber nachdem zwei der Punkte von x abhängen, kann man keine Skizze für das allgemeine Problem zeichnen. Deshalb wählt man sich einfach irgendeinen x-Wert und macht die Zeichnung dafür, idealerweise sogar zwei verschiedene x-Werte.
Versuche bitte eine Zeichnung zu machen für x=1 und x=2 (zeichne den Graphen von f(x) und die drei Punkte A, B und C, wobei B und C zweimal vorkommen sollten, für x=1 und für x=2).
Ich habe vorhin ein Video gefunden und ich glaube, dass es das sein könnte: https://www.youtube.com/watch?v=2dTwCMsx_ck
Allerdings habe ich es 1. leider nicht ganz so gut verstanden und 2. Frage ich mich was wäre, wenn man dort statt ein Dreieck ein Viereck hätte?
Gut dass du selbst recherchiert hast! Was genau hast du denn nicht so gut verstanden? Am besten direkt mit Timestamp vom Video!
Was ich vor allem nicht verstanden habe war ab 3:40 min. Ich weiß halt leider nicht mehr wie man die Determinante anwendet. Ebenso frage ich mich wie die Rechnung mit der Determinante ausgesehen hätte, wenn beispielweise ein Viereck anstatt eines Dreiecks in der Aufgabe vorgekommen wäre. Hätte man dann die Determinante genau so angewendet nur ohne dem 1/2 davor?
Man schreibt die zwei Vektoren, die das Dreieck aufspannen, nebeneinander und bekommt eine 2x2 "Tabelle" (die nennt man eigentlich Matrix). Die Determinante berechnet man dann "über Kreuz": https://www.mathebibel.de/2x2-determinanten-berechnen
Im Falle eines Parallelogramms kann man genauso vorgehen, bloß ohne Faktor 1/2 davor, genau! Wenn es aber ein allgemeines Viereck ist und kein Parallelogramm, dann klappt das nicht und man muss das Viereck in zwei Teildreiecke zerlegen und deren Flächen einzeln berechnen.
Das geht über die Integralrechnung.
Das Integralzeichen ,verzerrtes S,ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner Teilflächen dA,zu einer Gesamtfläche A.
Beispiel: y=f(x)=2*x^2 integriert
F(x)=2*1/3*x^3+C=2/3*x^3+C
Flächen zwischen den Graphen und der x-Achse ist
A=obere Grenze minus untere Grenze
untere Grenze xu=0 und obere Grenze xo=3 eingesetzt
A=(2/3*3^3+C) - (2/3*0^3+C)
A=54/3+C - 0-C=54/3=18 FE (Flächeneinheiten)
Hinweis:Bei dieser Rechnung fällt immer die Integrationskonstante C weg.
Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren.
Hi Niklas,
also wenn Du letztes Jahr in der 9. warst, bist Du jetzt sehr wahrscheinlich in der 10. Klasse. Da kennt Ihr noch keine Integralrechnung.
Es könnte sich also nur darum drehen, die Fläche eines Dreiecks die der Graph einer Geraden mit den Koordinaten-Achsen bildet, oder die Fläche eines Rechtecks, die der Graph mit einer Konstanten linearen Funktion bildet, zwischen 2 Werten für x. Eventuell auch die Fläche eines Dreicks, einer linearen Funktion für x zwischen 2 gegebenen Werten zu berechnen.
Da wäre die Fläche bei Dreeiecken:
1/2* [f(x1) - f(x2)] * x
und bei Rechtecken:
f(x) * (x2 - x1)
Ist das es, was Du meinst?
LG,
Heni
Ich bin mir nicht ganz sicher, ich habe vorhin ein Video gefunden, allerdings habe ich das nicht ganz so gut verstanden. Dort wurde es auch anders erklärt. https://www.youtube.com/watch?v=2dTwCMsx_ck
Was wäre, wenn ich dort z.B. ein Viereck hätte?
Gut gemacht mit dem Video!
Aber seid Ihr wirklich bei Vektorgeometrie? Siehe auch meinen Post als Antwort für PhotonX
Ja, zumindest rechnen wir mit Vektoren. Wie gesagt unser allgemeines Thema zurzeit ist vor allem Parabeln zeichnen usw.
Fläche unterm Graphen: Integral
Integral hatten wir glaube ich soweit ich weiß noch nicht.
Ja, so in der Art müssen wir sie können.