Frage von alexandra1999, 69

Extremstellen bei einer Funktion 5. Grades berechnen, also f(x)= 1/5x^5-5/3x^3+4x?

hey, ein paar freunde und ich sind gerade am Lernen für eine Matheklausur dafür gab unser Lehrer uns ein Lernblatt. wir haben die Aufgabe die Extremstellen zu bestimmen. bis zur Funktion 4. grades haben wir alles super hinbekommen. doch jetzt überlegen wir schon seit 2 stunden. wir haben im Unterricht maximal bis zu 3. grades gemacht und haben daher keine ahnung:/. vielen dank

Antwort
von fjf100, 10

TIPP : Besorgt euch alle privat einen Graphikrechner (Casio),wie ich einen habe,sonst werdet ihr extremverarsch..t.

Die Funktion hat 2 Maximalstellen und 2 Minimalstellen !! Habe ich mit meinen Graphikrechner bestimmt.

Maximum bei x1=- 2 y1= - 1,066.. relatives,lokales Maximum

maximum bei x2=1 y2=2,53 ... absolutes lokales Maximum y2> y1 !!

Minimum bei x1=- 1 y1= - 2,53.. absolutes lokales Minimum

minimum bei x2= 2 y2= 1,066.. relatives lokales Minimum y2> y1

siehe Mathe-Formelbuch kapitel "Funktionen"

Bedingung Maximum f´(x) = 0 unf f´´(x)< 0

bedingung Minimum f´(x)= 0 und f´´(x)> 0

bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

Bedingung "Sattelpunkt" f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null  und zusätzlich noch  f´(x)= 0 Die Tangente liegt hier beim "Sattelpunkt" parallel zur x-Achse !!

f(x)= 1/5 *x^5 - 5/3 *x^3 + 4 * x 

abgeleitet f´(x)= 5/5 * x^4 ´- 15/3 * x^2 + 4  Nullstellen bei x1=- 2 x2=- 1 x3=1 und x4=2 (für die 4 Extremstellen)

noch mal abgeleitet f´´(x)=4 *x^3 - 10 * x

 3.te mal abgeleitet f´´´(x)= 12 *x^2 - 10  ergibt x= Wurzel( 10/12)=0,9128

Also Wendepunkt bei xw= 0,128

prüfe auf Rechen- und Tippfehler !

Antwort
von Schachpapa, 55

Wenn du diese ableitest erhältst du eine Fkt 4. Grades, die nur x^4 und x^2 und x^0 enthält. Dann kannst du x^2 mit z substituieren. Solltest du zumindest können ;-)

Kommentar von alexandra1999 ,

ob ichs kann weiß ich nicht :D haben das erst gestern gelernt. (sind unter Zeitdruck weil viele stunden ausgefallen sind und wir erst vorletzte Woche einen test geschrieben haben etc.. naja ist auch egal :D)

meine ableitung ist ja x^4-5x^2+4. das haben wir ja schon alles hinbekommen. nun aber was jetzt? wäre es ja nur eine 4. grades hätte ich einfach mit der ersten Ableitung dann das horner Schema .. gerechnet, aber das geht ja hier nicht

Kommentar von Schachpapa ,

Wenn es erst gestern neu dran war, wird es vor der Klausur sicher nochmal gemacht (falls die Klausur schon Montag ist, würde ich vermuten/hoffen, dass es nicht in der Klausur vorkommt)

Ansonsten, so geht's:

Notwendige Bedingung für Extremstellen f '(x) = 0

Substituiere z:=x^2

z^2 - 5z + 4 = 0
z1 = 4  z2 = 1     (mit pq- oder abc-Formel oder quadr. Erg.)

Rücksubstituieren:

x^2 = 4   <=> x = +-2
x^2 = 1  <=> x = +- 1

Es gibt also 4 Stellen an denen f '(x) = 0 gilt.

Jetzt das Übliche:
Einsetzen in f ''(x) für die hinreichende Bedingung (Hoch oder Tief)
Einsetzen in f(x) für die Y-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte



Du könntest natürlich auch x = 1 und x = -1 raten und mit dem Horner-Schema zwei Polynomdivisionen machen. Das wäre aber umständlich.

Kommentar von alexandra1999 ,

wir schreiben erst donnerstag, haben davor aber kein mathe mehr. doch er hat gesagt, was dran kommt. er nimmt auch andere Sachen dran, extra für einser-Kandidaten ^^ auch etwas was wir noch nicht gemacht haben. aber hat sich schon geklärt habe mich nochmal dran gesetzt und überlegt und habe es dann irgendwie raus bekommen. also die 3 stunden überlegen haben sich ausgezhalt :D aber vielen lieben dank

Kommentar von alexandra1999 ,

kann ich dich was fragen? was würde ich denn machen, wenn es bei der Ableitung von einer Funktion 5. Grades nicht nur gerade Exponenten gibt?

Kommentar von Schachpapa ,

Dann bleibt nur raten und Polynomdivision. D.h. wenn die Nullstellen nicht ganzzahlig sind, geht's nicht (zumindest nicht mit Schülermitteln). Mit Computern würde man die Nullstellen näherungsweise bestimmen.

Antwort
von rumar, 39

Beachte, dass die Funktion "ungerade" ist. Wegen dieser Symmetrie kann man sich praktisch die halbe Arbeit sparen !

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