Randverhalten einer Funktion berechnen?
Wie berechnet man das Randverhalten dieser Funktion? f(x)=x^4-4x^3+3x^2+4x-4
1 Antwort
Bei ganzrationalen Funktionen interessiert bzgl. des Randverhaltens (Verhalten Richtung plus-/minus-Unendlich) nur der Summand mit dem höchsten Exponenten, also hier x^4. Jetzt musst Du überlegen, was passiert, wenn zum einen das x immer größer wird und zum anderen wenn es im negativen immer kleiner wird.
In diesem Fall bleibt x^4 wegen des geraden Exponenten immer positiv, und weil davor der Koeffizient (Vorfaktor) auch positiv ist (+1), läuft die Funktion Richtung plus- und minus-Unendlich Richtung plus-Unendlich. D. h. der Graph kommt "von oben" und geht auch irgendwann wieder nach oben weg.
Da gibt es nichts zu rechnen - es gibt ja auch nicht DEN Randwert!
Wird x immer größer, wird natürlich auch das Produkt x*x*x*x immer größer, d. h. wird x "unendlich groß" dann wird auch x^4 unendlich groß.
"Schriftlich mathematisch korrekt" würde man den höchsten Exponenten ausklammern, ergibt: f(x)=x^4 * (1-4/x+3/x²+4/x³-4/x^4). Dann ist lim x->unendlich x^4*(1-4/x+3/x²+4/x³-4/x^4) = lim x->unendlich x^4 * (1-0+0+0-0) = lim x->unendlich x^4, und somit bist Du dann schriftlich an dem Punkt angelangt, an dem Du nun "den Kopf einschalten musst", und meine oben ausgeführten Überlegungen anstellen musst! (die Nullen entstehen übrigens dadurch, dass ein Bruch immer kleiner wird, wenn der Nenner bei konstantem Zähler immer größer wird, d. h. der Grenzwert ist dann Null)
Wie rechne ich das? Und vielen Dank🙏🏼🫶🏻