Frage von Jwerner97, 78

Extrema ermitteln?

Ich muss das Extrema ermitteln mithilfe der Funktion 80 + 120t * e^(-0.5t) Jetzt steck ich bei der ableitung fest. Die ermittelt man hier ja durch die Produktregel, aber bei mir kommt nix gescheites raus, womit man weiterarbeiten könnte..

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 52

Bei der Ableitung von e^(-0.5t) musst du etwas aufpasssen. Denn erstens geht es nach der Kettenregel, weil eine Funktion im Exponenten steht, und zweitens ist die Ableitung von e^x wieder e^x.

Also leitest du erst mal außen ab, als sei die Klammer ein normales x:
e^(-0.5t)   —>  e^(-0.5t)

Dann die innere Ableitung:
-0.5t   —>   -0,5 

Das wird multipliziert:

-0,5 * e^(-0.5t)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 52

Hallo,

nach der Produktregel ist f'(x)=120*e^(-0,5t)-60t*e^(-0,5t)

60*e^(-0,5t) kannst Du ausklammern:

60e^(-0,5t)*(2-t)

e hoch irgendetwas wird niemals Null, also auch nicht 60*e hoch irgendetwas.

Bleibt nur noch der Term 2-t, der bei t=2 Null wird.

Hier muß also eine Extremstelle liegen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Jwerner97 ,

Dankeschön !! Wie kommen Sie aber auf (2-t) ? Die 2 verstehe ich, aber das t nicht so ganz...

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe doch 60*e^(-0,5t) ausgeklammert. Da bleibt von
120*e^(-0,5t) 2 übrig und von -60t*e^(-0,5t) bleibt -2.

Wenn Du 60*e^(-0,5t)*(2-t) auflöst, kommst Du wieder auf
120*e^(-0,5t)-60t*e^(-0,5t)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 29

Deine Funktion lässt sich verallgemeinern zu -->

f(t) = a + u(t) * e ^ (v(t))

Das ist abgeleitet -->

f´(t) = (u´(t) + u(t) * v´(t)) * e ^ (v(t))

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Deine Funktion -->

f(t) = 80 + 120 * t * e ^ (-0.5 * t)

a = 80

u(t) = 120 * t

v(t) = -0.5 * t

u´(t) = 120

v´(t) = -0.5

Zur Erinnerung --> f´(t) = (u´(t) + u(t) * v´(t)) * e ^ (v(t))

f´(t) = (120 + 120 * t * -0.5) * e ^ (-0.5 * t)

Das lässt sich noch vereinfachen -->

f´(t) = 120 * (1 - (1 / 2) * t) * e ^ (- (1 / 2) * t)

Kommentar von DepravedGirl ,

P.S -->

Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird.

e ^ (- (1 / 2) * t) wird niemals Null werden, kann man also ignorieren.

Den Faktor 120 kann man auch ignorieren, weil der nicht Null ist.

1 - (1 / 2) * t kann Null werden -->

1 - (1 / 2) * t = 0 | + (1 / 2) * t

1 = (1 / 2) * t | * 2

2 = t

t = 2

Antwort
von NoLif, 49

80 fällt raus. -0.5t mal 120t ergeben 75 t hoch 2 und e hoch -0.5t bleiben erhalten.

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