Extrema funktioneschar?

a^2x^4 + 2x^2 - 3/a^2

Wie berechne ich die extrema?

Ich habe es abgeleitet gleich null gestzt und 4x ausgeklammert aber da bleibt a^2x^2 +1 in de rklammer Was mache ich damit.

Answer 1

[mihisu]

$f_{a}(x)=a^2 x^4 + 2 x^2 - \frac{3}{a^2}$

$f_{a}'(x)=4a^2 x^3 + 4 x$

$f_{a}'(x)=4 x\cdot \left(a^2 x^2 + 1\right)$

Ok. Soweit hast du das deiner Beschreibung nach auch.

Der Faktor a²x² + 1 ist hier nun nicht weiter relevant. Du brauchst ja die Nullstellen (bzw. die Stellen, an denen die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt). Aber a²x² + 1 ist für alle reellen Werte a und x immer größer oder gleich 1. [Denn a² bzw. x² können als Quadrate reeller Zahlen nicht negativ werden.] Also ist a²x² + 1 insbesondere positiv, ohne an irgendeiner Stelle gleich 0 zu werden.

Die Ableitung wird nur an der Stelle x = 0 gleich 0, da dort der ausgeklammerte Faktor 4x gleich 0 wird. [An dieser Stelle wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von negativ zu positiv, so dass es sich um eine Minimumstelle handelt.]

Bei x = 0 befindet sich also das Minimum der Funktion mit dem Wert

$f_{a}(0)=a^2\cdot 0^4+2\cdot 0^2-\frac{3}{a^2}=-\frac{3}{a^2}$

als Wert des Minimums.

Answer 2

[Halbrecht]

a^2x^2 +1 in de rklammer 

gleich Null setzen . Dann gibt es neben xE1 = 0 ( aus 4x ) noch xE2 = nix und xE3 = nix

weil a²x² + 1 = 0 ..................x² = -1/a² keine weiteren Lösungen bringt

Comments

[Noma643]

Danke