[Mathe] Kurvendiskussion?
Guten Abend,
ich habe ein paar Fragen zu folgender Aufgabe.
########## a) 2.: ##########
Wieso müssen die Tangentensteigungen vor x = 2 positiv und nach x = 2 negativ sein, dass sich dort ein Wendepunkt befindet? Wieso braucht es einen Vorzeichenwechsel von f‘ ab der Stelle x = 2?
Die Bedingungen für einen Wendepunkt sind ja:
f‘‘(x) = 0
und
f‘‘‘(x) ≠ 0.
########## b) 1.) ##########
Wieso ist es falsch, dass sich ein Tiefpunkt an der Stelle x = 1 befindet?
Die Bedingungen für einen Tiefpunkt sind ja:
f‘(x) = 0
f‘‘(x) < 0
Viele Grüße
2 Antworten
a)2:
Du siehst auf dem Bild die erste Ableitung der Funktion f, also f'(x). Die Steigung an der Stelle x=2 beträgt 0, das heißt, dass die zweite Ableitung f"(x) an dieser Stelle 0 ist. Das ist schon mal die erste Voraussetzung für einen Wendepunkt. Wenn sich die Vorzeichen nicht ändern, dann könnte f'(x) aber zB auch einfach steigen, dann kurz gerade weitergehen, dann wieder steigen, also ein Plateau bilden. f"(x) wäre dann trotzdem 0, aber es wäre kein Wendepunkt.
b)1:
Wenn du dir den Graphen ansiehst, dann siehst du, dass f'(x) sowohl vor als auch nach x=1 im positiven Bereich ist. Das heißt, f(x) muss vor x=1 steigen, dann stehen bleiben bei x=1 und dann weiter steigen.
Meiner Meinung nach ist das zumindest verwirrend, wenn nicht gar schlampig formuliert. Derjenige, der diesen blauen Text formuliert hat spricht hier offensichtlich von den Steigungen der Tangenten an den Graphen der ersten Ableitung und nicht wie Du vermutlich vermutest von den Steigungen der Tangenten an die Funktion selbst.
Die Bedingungen für einen Wendepunkt sind ja:
f‘‘(x) = 0
Genau und das ist der Fall, da die Tangente an die erste Ableitung horizontal verläuft und damit die Ableitung der im Graph dargestellten Funktion an dieser Stelle 0 ist. Die Ableitung der im Graph dargestellten Funktion ist aber die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion.