Rekonstruktion mit Normale?

Hallo!

Ich bräuchte Hilfe bei meiner Mathehausaufgabe.

Die Aufgabe lautet wiefolgt:

Rekonstruieren Sie die Funktion f. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Wendepunkt (2/0) eine horizontale Wendetangente. Die Normale im Ursprung des Koordinatensystems hat die Steigung m= -⅛.

Ich habe bereits die allgemeine Gleichung aufgeschrieben:

f(x)= a4•x⁴+a3•x³+a2•x²+a1•x+a0

Außerdem habe ich schon die kompletten Bedingungen des Wendepunkts aufgeschrieben:

f(2)=0

f''(2)=0

f'(2)=0

Jetzt fehlt nur noch der Part mit der Normale. Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

Answer 1

[evtldocha]

. Die Normale im Ursprung des Koordinatensystems hat die Steigung m= -⅛.

Das übersetzt sich zu f'(0) = 8, denn für die Steigungen zweier Geraden, die sich im rechten Winkel schneiden (also "normal" zueinander sind) gilt der Zusammenhang:

$m_1\cdot m_2=-1$ (Die "Normale" zu einer Funktion in einem Punkt x₀ ist die Gerade, die senkrecht auf der Tangente in diesem Punkt steht und die Tangente hat die Steigung f'(x₀). Also:

$m_1\cdot f'\left(0\right)=-1\ \to-\frac{1}{8}\cdot f'\left(0\right)=-1\ \to f'\left(0\right)=8$

Comments

[XFroggieX]

Aber dann fehlt ja immer noch eine 5. Bedingung, oder?

[evtldocha]

@XFroggieX

Nun ja: Die Normale im Ursprung ist ja trivial: f(0) = 0.

[XFroggieX]

@evtldocha

Vielen Dank! Ich versuche mal mein Glück (:

Answer 2

[Rammstein53]

f(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e

f'(x) = 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d

f''(x) = 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c

f(2) = 0

f'(2) = 0

f''(2) = 0

f'(0) = 8

f(0) = 0 ("die Normale im Ursprung des Koordinatensystems")

Lösung:

a = -1

b = 6

c = -12

d = 8

e = 0