Exponentieller Wachstum & exponentieller Zerfall?
Hallo Experte! Ich brauche deine Hilfe 💪
Bei dieser Aufgabe habe ich folgendes versucht (weiß nicht, ob es richtig ist):
84 * x^(6) = 313
x = 1,25
Ich denke hierbei habe ich schon einen Fehler gemacht, da nicht die richtige Zahl rauskommt bei z.B.
84 * 1,25^(6) = 320 (müsste aber 313 sein).
Diese Aufgabe mit der Halbwertszeit verstehe ich überhaupt nicht.
2 Antworten
Also machen wir mal Aufgabe 1:
f(x) = 84*a^x
84 ist der Anfangswert. Das ist laut Tabelle offensichtlich der Wert von 1990.
a ist der Wachstumsfaktor und x sind die Anzahl an Jahren.
Für 1990 gilt: x = 0
f(0) = 84 * a ^0 = 84 * 1 = 84
Das ist jetzt keine Überraschung, denn 84 war ja der Anfangswert für 1990.
Nun wirds interessanter: für 1996 gilt:
x = 6 (Jahre), f(6) = 313
Das setzen wir ein und kriegen dann den Wachstumsfaktor zumindest für diese 6 Jahre raus:
313 = 84 * a^6
a^6 = 313/84
a = (313/84)^(1/6) = 1,245
Alsolautet die Funktion:
f(x) = 84*1,245^x
Nun überprüfen wir die Funktion für 1984:
x = -6 (1984 - 1990 = -6 Jahre)
f(-6) = 84*1,245^(-6) = 22,56
Das passt also gut ins Modell.
Nun überprüfen wir die Funktion für 2002:
x = 12 (2002 - 1990 = 12 Jahre)
f(12 = 84*1,245^12= 1165
Das passt überhaupt nicht ins Modell. Offensichtlich hat sich das Wachstum in der Realität nach 1990 verlangsamt.
Wann begann die Fläche mit 0?
f(x) = 0
84*1,245^x = 0
1,245^x = 0
Da 1,245 hoch irgendwas nie 0 ergeben kann, liegt der Beginn nach diesem Modell in der unendlichen Vergangenheit, also sagen wir mal beim Urknall.
20000 * a^183 = 2000
a^183 = 0,1
a = 0,1^(1/183)
a= 0,98749639563
Nun wo du die Basis kennst, musst du nun nur noch den Exponenten für die Halbwertszeit herausfinden:
20000 * 0,98749639563^x = 10000
0,98749639563^x = 0,5
x = log(0,5) / log(0,98749639563)
x = 55.0884891789
Die Halbwertszeit beträgt also geringfügig mehr als 55 Sekunden. Die Kontrolle zu dieser "Behauptung" überlasse ich dir! :P
Allerdings hättest du das selbst lösen können müssen, wenn du Aufgabe 10 tatsächlich verstanden hättest. ;-)
Ich verstehe nicht wie (mit welchen Rechenschritten) du „a^(183) = 0,1“ zu „a = 0,1^(1/183)“ gebracht hast.
Zudem haben wir beim Logarithmus in der Schule nur „ln“ benutzt und nicht „log“, aber das muss ich mir nun aneignen oder? Gibt es mehrere Möglichkeiten zum lösen dieser Aufgabe? Zum Beispiel eine Formel?
Du hättest hierfür natürlich
x = ln(0,5) / ln(0,98749639563)
nehmen können. Kommt das selbe bei raus. Ich schreibe nur meist log dahin aus alter Angewohnheit. Sorry, wollte dich damit nicht verwirren!
Was deine erste Frage angeht:
2^2 = 4 -> Wurzel(4)=2
Um die Basis also ohne den Exponenten zu bekommen, musst du die entsprechende Wurzel aus der Basis ziehen, in diesem Fall die 183te Wurzel.
Und wie kann man Wurzel noch schreiben? Hoch 1/Exponent.
4^(1/2) = Quadratwurzel aus 4 = 2
8^(1/3) = 3te Wurzel aus 8 = 2
16^(1/4) = 4te Wurzel aus 16 = 2
---
Die Umwandlung von
a^183 = 0,1
zu
a = 0,1^(1/183)
bedeutet also lediglich, dass wir die 183te Wurzel auf beiden Seiten gezogen haben! Also welche Zahl wir 183 mal mit sich selbst multiplizieren müssen, um auf 1/10 der ursprünglichen Anzahl von Atomen zu kommen.
Also ist deine Rechnung hier die bessere Option oder?
Nein, du darfst nur nicht den absoluten Fehler betrachten. Entscheidend ist immer der relative Fehler.
0,56 von 22 sind 0,56/22 = 0,025 = 2,5 %
2,07 von 84 sind 2,07/84 = 0,025 = 2,5 %
Der relative Fehler ist also derselbe. Bei 4-fachem Grundwert ist auch die Abweichung 4 mal so groß.
Dazu ein Tipp: Exponentialrechnungen reagieren ungeheuer empfindlich auf Fehler am Anfang, weil sich auch die Fehler exponentiell vergrößern. Daher solllte man beim Runden eher etwas vorsichtig sein und lieber mehr als weniger Stellen durch die Rechnung schleppen.
Ein schönes Beispiel, wie ein wirklich minimaler Fehler schon nach erstaunlich wenigen Schritten zu einem großen Fehler führen kann, habe ich hier schon mal erzählt:
https://www.gutefrage.net/frage/gravitation-unbegrenzte-reichweite-2
Ich habe noch eine Frage zu ln(). Wie weiß ich welche beider zahlen oben oder unten im Bruch steht „ln(…) / ln(…)“?
Bzw. wie weiß ich was bei „log\/(…) (…)“ wo steht?
„\/„ meint hier, dass die Klammer danach unten stehend ist. (Zusätzliche Frage: oben stehend heißt ja Exponent, wie heißt die unten stehende?)
Wenn der Funktionswert gegeben ist und das x gesucht wird, landest du immer bei der Form z.B. wie in 11:
0,98750^x = 1/2
Um das x aus dem Exponenten zu kriegen, wendest du den ln oder log an (kommt aufs selbe hinaus):
ln 0,98750^x = ln 1/2
Nach den rechenregeln für Logarithmen kannst du Exponenten nach vorne ziehen:
x ln 0,98750 = ln 1/2
Um das x freizustellen, musst du nun die rechte Seite durch den Faktor beim x dividieren:
x = ln 1/2 / ln 0,98750
und dann einfach mit dem Taschenrechner ausrechnen:
= 55,1
Ich habe so vieles jetzt verstanden. Ich bedanke mich für deine und auch @GuteAntwort2021 seine Hilfe.
Bei dieser Frage benötige ich noch ein wenig Hilfe, um andere Aufgaben lösen zu können:
https://www.gutefrage.net/frage/sinus--und-kosinusfunktion---loesungen-im-intervall-angeben
Aufgabe 11 geht genauso wie Aufgabe 10.
Ansatz:
f(x) = b * a^x
b = Anfangswert = 20.000
a = Wachstumsfaktor, müssen wir ausrechnen
x = Zeit in Sekunden
f(183) = 1/10 * 20.000 = 2000
2000 = 20.000 * a^183
a^183 = 1/10
a = (1/10)^(1/183) = 0,98750
Hinweis: exponentielles Wachstum kann sozusagen auch rückwärts gehen. Das nennt man dann exponentielle Abnahme und hat einen Wachstumsfaktor kleiner als 1.
Damit lautet die Funktion:
f(x) = 20.000 * 0,98750^x
Für die Halbwertszeit gilt, dass nur noch die Hälfte des Ausgangswertes vorhanden ist:
f(x) = 10.000
10.000 = 20.000 * 0,98750^x
0,98750^x = 1/2
ln 0,98750^x = ln 1/2
x ln 0,98750 = ln 1/2
x = ln 1/2 / ln 0,98750 = 55,1
Ergebnis: die Halbwertszeit beträgt 55 s
Noch ein Tipp:
Beid er Exponetilarechnung kommt es vor allem darauf an, das Prinzip zu verstehen. Hat man das erst mal begriffen, kann man ohne viel Aufwand fürs lernen relativ leicht gute Noten schreiben. Insofern ist der Ansatz, dass du das wirklich verstehen willst, genau der richtige.
Auswendig lernen muss man praktisch nur den allgemeinen Ansatz:
f(x) = b * a^x (wobei teilweise auch andere Buchstaben verwendet werden)
Muss ich hier zwingend die Funktion mit dazu schreiben - immer mit „f(x) =…“?
Oder kann ich einfach schreiben 20.000 * 0,98750^(x) = 10.000
Du kannst das auch einfach schreiben. Schöner ist es vollständig mit f(x) und ich mache das zum Vorführen deshalb, dass es erstmal der "reinen Lehre" entspricht und keine Verwirrung entsteht. Rechne ich das selber für mich, kürze ich die Notation sogar noch mehr ab. Da lasse ich z.B. auch gleich die Tausender-Nullen weg.
das musst du sogar so schreiben , denn anstelle von f(x) steht f(Hälfte) und der Wert ist eben 10000
Bei der Frage nach der Halbwertszeit schreibe ich gleich:
a^x = 1/2
Die ganzen Zwischenschritte lasse ich da weg.
irgendwie sind die Kommentare seltsam sortiert , aufeinander bezogen : Mein K war ein K zu FS s Bemerkung : immer mit „f(x) =…“?
Oder kann ich einfach schreiben 20.000 * 0,98750^(x) = 10.000
Nach „0,9875^(x) = 0,5“ hast du ja „| ln()“ gemacht. Warum steht dann bei dir hier zuerst „ln 0,9875^(x) = ln 1/2“ dort? Und was steht hier in der ersten ln-Klammer? Auch das ^(x)? Kann man diesen Schritt überspringen und gleich zu dem nächsten gehen (der hier direkt darunter steht)?
Darunter steht ja „x * ln(0,98750) = ln(1/2)“.
Kommt immer der Exponent, wenn unten eine Zahl steht vor „ln()“ ?
Bedeutet das, dass (frei erfundenes Beispiel) … = … ist?:
0,5272^(q) = 7282 | ln()
q * ln(0,5272) = ln(7282) | : ln(0,5272)
q = ln(7282) / ln(0,5272)
q = - 13,89
0,5272^(q) = 7282 | ln()
q * ln(0,5272) = ln(7282) | : ln(0,5272)
q = ln(7282) / ln(0,5272)
q = - 13,89
Genau so geht das.
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich bin so froh das es Gutefrage.net und solche Leute wie dich gibt. Vielen vielen Dank. <3💪💚
Zur Überprüfung ob das Jahr 1984 in die Modellierung passt habe ich folgendes berechnet:
22 * 1,245^(6) = 81,93 (es müssten 84 sein; hohe Abweichung)
Du hast so gerechnet:
84 * 1,245^(-6) = 22,56 (geringere Abweichung)
Also ist deine Rechnung hier die bessere Option oder?
Habe alles so wie du es gerechnet und mir gezeigt hast nachvollziehen können und sauber aufgeschrieben 💪
Hast du noch Lust mir bei dem 2. Bild (Aufgabe 11) behilflich zu sein? Dann habe ich es einmal richtig vorgezeigt um mehr solcher Aufgaben zu machen.